Integrale cost/polinomio

Ciao Giuseppe. Innanzitutto, premetto che per risolvere un integrale come quello che stai proponendo tu ci sono metodi molto più efficienti rispetto al metodo di sostituzione. Se sei interessato, ti propongo questi video che spiegano nel dettaglio come affrontare questa tipologia di esercizi, e altre molto simili: https://library.weschool.com/lezione/esercizi-svolti-con-integrale-di-funzione-razionale-matematica-9691.html, https://library.weschool.com/lezione/integrale-di-funzioni-razionali-fratte-caso-del-denominatore-come-prodotto-7602.html e https://library.weschool.com/lezione/integrazione-di-funzioni-razionali-fratte-caso-generale-7603.html. Se invece vuoi comunque utilizzare il metodo di sostituzione, allora il procedimento è il seguente. In generale notiamo che dopo alcuni passaggi algebrici si può ottenere$$\frac{1}{x^2 + px + q} = \frac{1}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2 - \frac{\Delta}{4}}$$dove $\Delta = p^2 -4q$, che è il delta del polinomio di secondo grado $x^2 + px + q$. Come dicevi tu, bisogna studiare il segno di $\Delta$. Se $\Delta = 0$, allora $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \frac{1}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2}dx$$Possiamo allora applicare la sostituzione $y(x) = x+\frac{p}{2}$; dato che $y’(x) = 1$, il nostro integrale diventa $$\int \frac{1}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2}dx = \int \frac{1}{y^2}dy$$che è un integrale immediato. Lascio a te verificare che, dopo aver risolto questo integrale e aver effettuato “al contrario” la sostituzione, otteniamo in questo caso $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = - \frac{1}{x+\frac{p}{2}} + C.$$Quando $\Delta < 0$, invece, possiamo scrivere (dopo alcuni laboriosi passaggi algebrici): $$\frac{1}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2 - \frac{\Delta}{4}} = \frac{4}{-\Delta} \cdot \frac{1}{\left ( \frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta}} \right )^2 + 1}$$Applicando la sostituzione $y(x) = \frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta}}$, abbiamo $y’(x) = \frac{2}{\sqrt{-\Delta}}$ e quindi $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = \frac{2}{\sqrt{-\Delta}} \int \frac{1}{y^2 + 1}dy$$L’integrale in $y$ è immediato, e ha come risultato $\arctan(y) + C$; da questo si ottiene $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = \frac{2}{\sqrt{-\Delta}} \arctan \left ( \frac{2x+p}{\sqrt{-\Delta}} \right ) + C.$$Quando $\Delta > 0$ abbiamo invece $$\frac{1}{\left ( x+\frac{p}{2} \right )^2 - \frac{\Delta}{4}} = \frac{4}{\Delta} \cdot \frac{1}{\left ( \frac{2x+p}{\sqrt{\Delta}} \right )^2 - 1}$$Applicando la sostituzione $y(x) = \frac{2x+p}{\sqrt{\Delta}}$, abbiamo $y’(x) = \frac{2}{\sqrt{\Delta}}$e quindi $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \int \frac{1}{y^2 - 1}dy$$Questo integrale in $y$ non è immediato, ma è comunque noto, e ha come risultato $- \frac{1}{2} \ln \left | \frac{1+y}{1-y} \right | + C$ e dunque $$\int \frac{1}{x^2 + px + q}dx = - \frac{1}{\sqrt{\Delta}} \ln \left | \frac{\sqrt{\Delta} +2x+p}{\sqrt{\Delta}-(2x+p)} \right | + C.$$Come vedi il procedimento e le formule sono molto lunghe e difficili da memorizzare, ma spero di averti dato un’idea di come procedere. Se c’è altro che vuoi sapere, dimmi pure. Ciao!