Integrazione di funzioni razionali fratte: nel video precedente, abbiamo illustrato il caso più semplice di funzione razionale fratta, in cui il denominatore si scompone nel prodotto di fattori di primo grado elevati alla prima potenza.
Ma come ci si comporta se il denominatore presenta un fattore di secondo grado irriducibile o un fattore di primo grado, ma a una potenza superiore alla prima?
La procedura seguita rimane sostanzialmente la stessa, ossia:
- Divisione algebrica tra il polinomio al numeratore e quello al denominatore;
- Fattorizzazione del denominatore come prodotto di polinomi irriducibili.
- Decomposizione della frazione rimanente in somma di frazioni semplici;
- Integrazione separata delle frazioni ottenute, grazie alla linearità dell’integrale.
Ma in questo caso, al punto 3, sarà necessario adottare i seguenti accorgimenti:
- Se compare un fattore di secondo grado irriducibile, si dovrà impostare il calcolo ponendo al numeratore un generico polinomio di primo grado, e non una costante. Per esempio: $$ \frac{1}{x^3 + x} = \frac{1}{x \cdot (1 + x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$$
- Se compare un fattore lineare, ma alla seconda potenza, si dovranno aggiungere due frazioni, come per esempio $$ \frac{x+1}{x^3 - 2x^2 + x} = \frac{x+1}{x \cdot (x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$$
In generale, se compare un fattore alla $n$-esima potenza, si aggiungono $n$ frazioni, ciascuna con denominatore uguale al fattore di base, elevato a potenze crescenti, da $1$ a $n$.
Integrando funzioni razionali con polinomi irriducibili di grado 2 al denominatore compariranno, in generale, anche arcotangenti oltre che logaritmi.
Il contenuto è disponibile anche sul canale Youtube LessThan3Math creato dal relatore Elia Bombardelli.