Inversa di una funzione

Ciao Giovanni! Lascia che riscriva la tua funzione:$$ f(x) = e^x+ \arctan(2x)$$Una funzione in generale non ammette una $\textit{funzione}$ inversa: come spieghiamo in questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/funzione-inversa-iniettiva-suriettiva-immagine-di-una-funzione-12804.html, una funzione è sicuramente invertibile se è iniettiva. Come facciamo a scoprire quindi se una funzione è iniettiva? Sappiamo dai corsi di analisi (guarda ad esempio qui https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html) che una funzione monotona è sicuramente iniettiva; e una funzione derivabile è monotona se la sua derivata ha sempre lo stesso segno. Nel tuo caso, la derivata della funzione $f$ è $$ f'(x) = e^x + \frac{2}{1+4x^2}$$Per calcolarla devi prestare attenzione alla derivata di una funzione composta, come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/derivata-di-funzione-composta-spiegazione-ed-esempi-7052.html: $\arctan(2x)$ infatti è una funzione composta. Detto questo, $f'$ è sicuramente sempre positiva: $e^x$ è un'esponenziale, quindi sempre positivo; $\frac{2}{1+4x^2}$ è anch'esso un termine sicuramente positivo; la somma di due numeri positivi è sicuramente positiva. Ne deduciamo che la funzione $f$ + strettamente crescente su $\mathbb{R}$; quindi è iniettiva su $\mathbb{R}$, e dunque è invertibile! Per trovare un'espressione di $g$ però siamo nei pasticci: occorrerebbe risolvere l'equazione $y = e^x+ \arctan(2x)$, ossia scrivere un'espressione del tipo $x = g(y)$. Questo non si può fare, per motivi algebrici, con funzioni "elementari": non siamo in grado di trovare un'espressione per la funzione $g(y)$. Però, in realtà, a noi non interessa l'espressione di $g$, ma solo quanto vale $g(1)$: questo significa trovare le soluzioni di$$ e^x + \arctan(2x) = 1 $$Anche quest'equazione non sembra facile, però... sappiamo che $e^0 = 1$ e $\arctan(0) = 0$, quindi sicuramente $\textit{una}$ soluzione è $x=0$. Il fatto che $g$ sia una funzione, inoltre, garantisce che $x=0$ sia l'unica soluzione: se ci fossero altre soluzioni, per $e^x + \arctan(2x) = 1$, $f$ non sarebbe più invertibile. Ecco fatto quindi! Abbiamo scoperto che la funzione $g(y)$, inversa di $f(x)$, nel punto $y=1$ vale $0$, dal momento che $f(0) = 1$. Spero che sia tutto chiaro: il ragionamento è un po' astratto, ma non possiamo fare altrimenti. Se hai altri dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata :D