Può capitare di dover calcolare la derivata di una funzione composta $$y = f \circ g.$$ Calcolarne la derivata è possibile se sappiamo calcolare la derivata delle due funzioni $f$ e $g$.
La formula per calcolare la derivata della funzione composta è: $$\boxed {\displaystyle{y’(x) = [f(g(x))]’ =f’[g(x)] \cdot g’(x)}}$$ Con la notazione delle funzioni composte, possiamo scrivere $ (f \circ g)’ = (f’ \circ g) \cdot g’$; a parole, la derivata della composizione di due funzioni è pari alla derivata della prima composta con la seconda, per la derivata della seconda. Questa regola è detta regola della catena.
Proviamo a capire la formula facendo passaggio per passaggio il calcolo del rapporto incrementale della funzione $y (x)= f \circ g (x)$. Prima però introduciamo la variabile $z$ definita da $z = g(x)$. In questo modo possiamo dire che $y = f(z)$.
Il rapporto incrementale di $f[g(x)]$ $$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f[g(x+\Delta x)]-f[g(x)]}{\Delta x}$$ può essere riscritto in una forma diversa utilizzando la variabile $z$.
Intanto $\Delta z=g(x+\Delta x)-g(x)$ ma dato che $g(x)=z$ possiamo dire che $g(x+\Delta x)=z+\Delta z$. Riscriviamo il rapporto incrementale $$\frac{f[g(x+\Delta x)]-f[g(x)]}{\Delta x}=\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta x}=$$ se moltiplichiamo e dividiamo per $\Delta z$, troviamo $$=\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\frac{\Delta z}{\Delta x}$$ Ora sostituiamo il numeratore della seconda frazione con la sua espressione in termini di $g(x)$, ovvero $\Delta z=g(x+\Delta x)-g(x)$. Otteniamo così $$\frac{f[g(x+\Delta x)]-f[g(x)]}{\Delta x}=\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$$
Se vogliamo calcolare il limite per $\Delta x$ che tende a 0 di questa espressione è bene notare che anche $\Delta z$ tenderà a 0. Infatti $g$, in quanto derivabile, è di sicuro continua e quindi vale quanto segue: $\displaystyle{\lim_{\Delta x \to 0} \Delta z=\lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)-g(x) = g(x) - g(x) = 0}$.
Torniamo ora al limite del rapporto incrementale di partenza: sfruttando le proprietà dei limiti, si ottiene
$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f[g(x+\Delta x)]-f[g(x)]}{\Delta x}=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=$$ $$=f'(z)g'(x).$$ A questo punto possiamo sostituire $z$ con $g(x)$ ottenendo infine: $$y'=f'[g(x)]g'(x)$$
Consideriamo un esempio per fissare il concetto: $$y=(4x^2+3x+2)^3.$$ Si tratta di una potenza di un polinomio. Per calcolarne la derivata, consideriamo come funzione "interna", cioè il polinomio, quello che troviamo tra parentesi: $z=g(x)=4x^2+3x+2.$ In questo modo $y=f(z)=z^3$: $y$ è funzione di $z$ che a sua volta è funzione di $x$. Adesso $f'(z)=3z^2$ e $z'(x)=8x+3$. Ma quindi utilizzando la formula, otteniamo: $$y'=3z^2 (8x+3)=3(4x^2+3x+2)^2(8x+3).$$