operazioni fra limiti

help! limite per x che tende a più infinito di (log x base 1/3 - x e^x). Grazie

il 24 Novembre 2015, da Caterina Sciove'

Michele Ferrari il 25 Novembre 2015 ha risposto:

Ciao Caterina! Se ho capito bene vuoi sapere quanto vale il limite $\lim_{x \to - \infty} \left ( \log_{\frac{1}{3}}x - x e^x \right )$ Iniziamo questo esercizio notando che $\log_{\frac{1}{3}}x$ è una funzione logaritmica con base minore di $1$ , che è una funzione sempre decrescente che tende a $-\infty$ quando $x \to +\infty$ (qui un approfondimento a riguardo: https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html). La funzione $xe^x$ , invece, tende a $+\infty$ dato che sia $x$ che $e^x$ tendono a $+\infty$ quando $x \to +\infty$ (sono funzioni elementari, che puoi ripassare qui: https://library.weschool.com/lezione/grafico-di-una-funzione-elementare-analitica-studio-di-funzione-14839.html) e che il prodotto di due infiniti dà nuovamente infinito, con l’opportuno segno dato dalla consueta regola dei segni, come spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/limite-di-prodotto-e-di-rapporto-di-funzioni-spiegazione-ed-esempi-7437.html. A questo punto ti suggerisco di guardare questo video https://library.weschool.com/lezione/limite-di-somma-e-di-differenza-di-funzioni-spiegazione-ed-esempi-7059.html dove si spiega in quali situazioni è possibile svolgere la somma o la sottrazione di limiti: in questo caso siamo nel caso “ $-\infty$ meno $+\infty$ ” ovvero “ $-\infty$ più $-\infty$ ” che è un operazione ammissibile per l’algebra dei limiti. Insomma, alla fine dei conti questo limite vale $-\infty$ ! Spero sia tutto chiaro, altrimenti fammi sapere :)