Problema di geometria nello spazio euclideo
In una piramide regolare triangolare gli spigoli laterali misurano 12 cm e gli spigoli di base misurano 8 cm. Determina l'ampiezza dei diedri aventi per spigoli gli spigoli di base.
il 28 Agosto 2015, da Dennis Izzo
Ciao Dennis! Innanzitutto ti segnalo questa lezione sulle piramidi, con un po’ di formule: https://library.weschool.com/lezione/piramide-formule-apotema-volume-tronco-di-piramide-formulario-geometria-solida-13241.html. Potrebbe interessarti anche questa lezione in cui si parla di diedri: https://library.weschool.com/lezione/angolo-diedro-rette-sghembe-semipiano-teorema-tre-perpendicolari-geometria-nello-spazio-14896.html. Per quanto riguarda il tuo problema, il procedimento che devi seguire è il seguente. Per prima cosa bisogna considerare un piano perpendicolare a uno spigolo di base passante per il vertice della piramide: questo piano conterrà anche l’altezza della piramide. Si viene quindi a formare un triangolo rettangolo che ha per cateti l’altezza della piramide e il raggio della circonferenza inscritta al triangolo equilatero (si può dimostrare, se vuoi ti spiego come) la cui lunghezza può essere determinata a partire dal lato del triangolo equilatero, come spiegato in questa lezione: https://library.weschool.com/lezione/formule-triangolo-equilatero-altezza-area-perimetro-inscritto-circonferenza-12665.html. L’angolo $\alpha$ compreso tra l’ipotenusa e di questo triangolo rettangolo e il raggio della circonferenza inscritta è proprio l’angolo diedro che stai cercando! Facendo un po’ di conti, mi viene questa relazione: $$\tan (\alpha) = \sqrt{23} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arctan(\sqrt{23}) \approx 78,22^\circ$$Se hai bisogno di maggiori dettagli, fammi sapere :)