Studio di funzione

Ciao Ouma! Innanzitutto ti consiglio di seguire i punti elencati in questa pagina: https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Se non ho capito male la tua funzione è questa:$$ f(x) = 2 \ln^2 \left( x \right) - \ln \left(x^2 \right) $$Discutiamo subito le condizioni di esistenza: abbiamo un logaritmo (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-di-esponenziali-e-logaritmi-spiegazione-5916.html) quindi occorre imporre che il suo argomento sia strettamente maggiore di zero. Usando le proprietà dei logaritmi (che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html), riscriviamo la funzione: $$ \begin{array}{l} 2 \ln^2 \left( x \right) - \ln \left(x^2 \right) = \\ = 2 \ln ( x ) \cdot \ln( x ) - 2 \ln(x) = 2 \ln(x) \left( \ln(x) - 1 \right) = \\ = 2 \ln(x) \left( \ln(x) - \ln(e) \right) = 2 \ln(x) \ln \left( \frac{x}{e} \right) \end{array}$$Quindi, per le C.E., occorre imporre $x > 0$: avremo il dominio $\mathbb{R}^+$. Una volta messo in chiaro questo, cerchiamo le intersezioni con gli assi: con l'asse $y$ non ce ne possono essere (dato il dominio); con l'asse $x$ dobbiamo risolvere l'equazione $f(x) = 0$, che porta a un'equazione con i logaritmi (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-logaritmiche-spiegazione-con-esempi-9374.html):$$ 2 \ln(x) \ln\left(\frac{x}{e}\right) = 0 \ \Rightarrow \ \ln(x) = 0 \text{ oppure } \ln\left(\frac{x}{e}\right) = 0 \ \Rightarrow \ x = 1 \vee e$$Il segno è preso detto: siccome $f$ è il prodotto di due fattori, capiamo il segno dei singoli fattori e poi usiamo al regola dei segni (e un bello schemino) per ricavare il segno di $f$. A me viene che $f(x) > 0$ per $0 < x < 1$ o $x > e$, mentre $f(x) < 0$ se $1 < x < e$. Per i limiti agli estremi del dominio dobbiamo calcolare $\lim_{x \to 0^{-}} f(x) $ e $ \lim_{x \to +\infty} f(x)$. Per $x \to 0^+$, non c'è problema: avremo infinito per infinito, che non è una forma di indecisione, e fa infinito; idem per $x \to + \infty$, che fa ancora infinito. Il segno di questi due infiniti ce lo fornisce lo studio sui segni: sono entrambi positivi! Quindi deduciamo che $x = 0$ è asintoto verticale. Fammi sapere se ti tornano i conti! Ciao e buona giornata :3