Studio di funzione brutto

Ciao Giuseppe! Ehm... Non credo di aver capito bene di quale funzione si tratti: è forse questa$$ f(x) = \frac{1 - x}{|1 + x|} \cdot \left( x+ \left( \frac{9}{e^{x + 2}} \right) \right) ?$$Se è questa, il dominio non è corretto: occorre escludere $-1$, non $1$. Ad ogni modo puoi trovare i passaggi da svolgere nel caso di una funzione qualsiasi qui https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Chi sono $y_1$ e $y_2$? Aiuto!

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Okay! Allora la funzione è questa qua$$ \frac{1 - x}{|1 - x|} \left( x + \frac{9}{e^x +2} \right) $$Ce l'abbiamo fatta! La prima cosa da fare, direi, è riscrivere la funzione in due funzioni, dato che siamo in presenza di un modulo. Dalla sua definizione https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html possiamo dire che $f$ ha due aspetti, a seconda che l'argomento del modulo ($1-x$) sia positivo o negativo: quindi, per $x > 1$ avremo una funzione, per $x < 1$ un'altra. Tutti i conti che faremo avranno a che fare con questo "doppio aspetto", in pratica tracceremo due grafici. Per $x < 1$, avremo $|1-x| = 1-x$, quindi$$ \text{Per } x < 1, \ f(x) = \frac{1 - x}{1 - x} \left( x + \frac{9}{e^x +2} \right) = x + \frac{9}{e^x +2}$$Mentre per $x > 1$, sarà $ | 1 - x | = -(1 - x) = x -1$, quindi$$ \text{Per } x > 1, \ f(x) = \frac{1 - x}{x - 1} \left( x + \frac{9}{e^x +2} \right) = - \left(x + \frac{9}{e^x +2}\right)$$Molto meglio, eh? Le condizioni di esistenza vanno comunque poste: siccome abbiamo due frazioni (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-fratte-condizioni-di-esistenza-denominatore-comune-equazioni-frazionarie-16409.html) dobbiamo imporre che $|1-x| \neq 0$ e $e^x +2 \neq 0$; la seconda non porta a nulla, dato che $e^x > 0$ (è un'esponenziale https://library.weschool.com/lezione/definire-studiare-dominio-andamento-funzione-esponenziale-matematica-9353.html) sarà comunque e sempre $e^x > -2$, e quindi $e^x \neq -2$ sempre. Invece, l'altra condizione ci dice che $x \neq 1 $. Ora facciamo i limiti agli estremi del dominio: per $x to \pm \infty$ abbiamo comunque $\lim_{x to \pm \infty} f(x) = - \infty$, mentre $\lim_{x \to 1^+} f(x) = - 1 - \frac{9}{e+2}$ e invece $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + \frac{9}{e+2}$ (basta usare le espressioni che abbiamo trovato prima per $f$). Siamo di fronte a una discontinuità di prima specie: come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/punti-discontinuita-terza-prima-specie-funzione-analisi-matematica-14935.html, avremo un "salto" di altezza finita nel grafico. I limiti a $\infty$ suggeriscono anche l'esistenza di due asintoti obliqui: difatti, se seguiamo i passaggi elencati in questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/asintoto-obliquo-definizione-e-calcolo-dell-equazione-7508.html, scopriamo che:$$ \begin{array}{cc} \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -1 & \lim_{x \to +\infty} f(x) - (-1)x = 0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 & \lim_{x \to -\infty} f(x) - (1)x = \frac{9}{2} \end{array}$$Deduciamo che abbiamo due asintoti obliqui: la retta $r: y = -x$ per $x \to +\infty$ e la retta $s: y = x - {}^9 /_2$ per $x \to -\infty$. Detto questo, notiamo che la funzione è continua su ciascuna componente connessa del suo dominio. Il calcolo della derivata è il prossimo punto: anche in questo caso, procediamo su due fronti, $x < 1$ e $x >1$: consiglio di usare le espressioni trovate per $f$ in ciascuno di questi intervalli. Usando le regole di derivazione che puoi trovare riassunte qui https://library.weschool.com/lezione/derivate-di-funzioni-elementari-tabella-e-promemoria-7166.html (e facendo in realtà non molti conti) si arriva a$$ f'(x) = \begin{cases} - \left(1 - \frac{9 e^x}{(2 + e^x)^2} \right) & \ \text{per } x > 1 \\ \left(1 - \frac{9 e^x}{(2 + e^x)^2} \right) & \ \text{per } x < 1 \end{cases}$$Per scoprire la monotonia della funzione, occorre studiare il segno della sua derivata: fondamentale è capire dove questa si annulla, e possiamo farlo (siamo fortunati) risolvendo un'unica equazione, ossia $1 - \frac{9 e^x}{(2 + e^x)^2} = 0$, che è equivalente a $(2 + e^x)^2 = 9e^x$. Usando una sostituzione ($t=e^x$), possiamo risolverla come un'ordinaria equazione: si arriva a $4 - 5t + t^2 =0$, che ha per soluzioni $t = 0$ e $t = 4$, da cui $x = 1$ e $x = \ln(4)$. Per scoprire il segno della derivata prima, ora che sappiamo che si annulla solo in quei due punti, sfruttiamo le informazioni che abbiamo raccolto calcolando gli asintoti obliqui: sappiamo già che per $x$ molto "piccolo" (cioè vicino a $- \infty$) avremo una funzione crescente, poiché il suo grafico si adagia sulla retta $s$; allo stesso modo, avremo che per $x$ vicino a $+\infty$ la funzione sarà decrescente. L'unica possibilità, quindi, è la seguente: per $x \in (-\infty, 0)$ la funzione è crescente; per $x \in (0,1)$ la funzione è decrescente (occhio che qui c'è lo "stacco" dato dal valore assoluto iniziale!); per $x \in (1,\ln(4))$ la funzione è crescente; e infine per $x \in (\ln(4), +\infty)$ la funzione è decrescente. Dato che la sua derivata è continua, possiamo concludere inoltre che $f$ possiede due punti di massimo in $x = 0$ e $x=\ln(4)$: il primo è assoluto, il secondo relativo. Spero sia tutto chiaro! Se hai dubbi specifici, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata.

sto provando a fare questo limx→−∞f(x)−(1)x=9/2 con De l'hopital , ma ottengo +inf Consiglio? - Giuseppe Perrotta 03 Marzo 2016

Siccome $x \to - \infty$, usiamo l'espressione che $f$ assume vicino a $- \infty$: siamo sicuramente prima di $1$, quindi $f(x) = x + \frac{9}{e^x +2}$; ora se facciamo $f(x) - x$, rimane solo $ \frac{9}{e^x +2} $: per $x \to -\infty$ non c'è nessuna forma di indecisione. Il teorema di de l'Hopital è meglio usarlo quando abbiamo "$\frac{0}{0}$" o "$\frac{\infty}{\infty}$": guarda questo video in cui riassumiamo il teorema https://library.weschool.com/lezione/descrivere-teorema-de-l-hopital-risolvere-esercizi-geometria-9655.html :3 Se hai altri dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata. - Giovanni Barazzetta 04 Marzo 2016

Per quali valori di a appartenente ad R l'equazione f(x)=a ammette soluzioni? il prof indica il Codominio e poi dei valori di a, mi può spiegare quali sono le informazioni dello studio che mi permettono di indicarne il codominio e come indicare le soluzioni? - Giuseppe Perrotta 04 Marzo 2016