Teorema di Gauss - campo elettrico
Salve! Io non ho ben capito come trovare il campo elettrico di una sfera carica applicando il teorema di gauss, qualcuno potrebbe spiegarmelo per favore? Grazie in anticipo:)
il 02 Settembre 2016, da leti b
Ciao Leti! Qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-legge-di-gauss-flusso-campo-elettrico-campo-vettoriale-14621.html spieghiamo il teorema di Gauss per il campo elettrico. Nella sua forma più generale, esso afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è pari a $$ \Phi = \frac{q_{\text{int.}}}{\varepsilon}$$Il teorema garantisce questa uguaglianza per ogni superficie chiusa: per questo a volte si chiamano superfici "gaussiane". La "$\Phi$" rappresenta il flusso del campo elettrico, che spieghiamo come calcolare sempre in quel contenuto: bisogna svolgere un integrale. Il difficile sta proprio qui. Quando abbiamo svolto l'integrale, uguagliamo le due quantità e, se siamo fortunati, riusciamo ad esplicitare il valore del modulo di $\vec{E}$, cioè l'intensità del campo elettrico $E$. Per svolgere l'integrale, innanzitutto cerchiamo di capire almeno la direzione del campo elettrico: si può dimostrare (facendo una media sulla carica distribuita sulla superficie della sfera) che, preso un punto esterno alla sfera, la direzione del campo elettrico in quel punto è la retta perpendicolare alla superficie della sfera passante per quel punto (cioè passante per quel punto ed il centro della sfera). Questo ci suggerisce di prendere come superfici gaussiane delle sfere concentriche alla nostra passanti per il punto in questione, di modo che versore normale a queste superfici e campo elettrico in quel punto siano paralleli (di modo che il coseno che sbuca fuori nel prodotto interno presente nel flusso faccia $1$, se la sfera è carica positivamente, o $-1$, se è carica negativamente). Per calcolare l'intero flusso, procediamo in maniera furba: suddividiamo la superficie gaussiana in elementi infinitesimi di superficie $dS$, calcoliamo il flusso infinitesimo $d\Phi$ attraverso queste porzioni, e per trovare il flusso totale sommiamo tutti questi contributi - la somma (infinita) di contributi infinitesimi è proprio l'integrale. Usando coordinate sferiche (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/coordinate-sferiche-cilindriche-sistemi-di-coordinate-formule-analisi-matematica-15298.html) e qualche trucco di analisi (che deriva dall'espressione dello jacobiano in coordinate sferiche, come detto qui https://library.weschool.com/lezione/integrali-doppi-tripli-multipli-integrale-doppio-coordinate-sferiche-cilindriche-polari-15443.html) si può mostrare come, per una sfera di raggio $R$, l'area dell'elemento infinistesimo di superficie sia pari a$$ dS = R^2 \sin(\varphi) d\varphi d\theta $$Svolgendo il prodotto interno che troviamo nel flusso, otteniamo$$ d\Phi = E \ R^2 \sin(\varphi)d\varphi d\theta $$Per trovare $\Phi$, integriamo su tutta la sfera: $\theta$ varia tra $0$ e $2\pi$, mentre $\varphi$ varia da $0$ a $\pi$:$$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} E \ R^2 \sin(\varphi)d\varphi d\theta = E R^2 \cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{\pi} \sin(\varphi)d\varphi = 4 \pi E R^2 $$Ora possiamo uguagliare le due espressioni date dal teorema di Gauss: flusso uguale carica interna diviso costante dielettrica. La carica interna alla superficie gaussiana è tutta la carica presente sulla sfera, che chiamiamo $q$, quindi:$$ 4 \pi E R^2 = \frac{q}{\varepsilon} \ \Rightarrow \ E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon R^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{R^2} $$Abbiamo ottenuto la stessa intensità del campo generato da una singola carica elettrica $q$ concentrata nel centro della sfera! Poi all'interno della sfera dipende: se la sfera non è cava, il campo è nullo perché è conduttrice e all'interno di un conduttore non ci può essere campo elettrico. Se è cava, beh, si procede allo stesso modo! Mi dispiace per la spiegazione un po' frettolosa ma funziona davvero così :3 Spero sia tutto chiaro: se hai qualunque dubbio, chiedi pure! Ciao e buona serata!