URGENTE!! Distribuizione lineare di carica

Ciao Andrea! Come dici giustamente tu per risolvere questo esercizio è necessario un integrale. Come ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/campo-elettrico-definizione-e-descrizione-4110.html il campo elettrico generato nel vuoto da una carica $q$ a distanza $r$ da essa è di intensità pari a$$ E_q = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \ \frac{q}{r^2}$$Nel nostro caso, poniamo un sistema di coordinate di modo che il filo coincida con l'asse $x$, un estremo di questo sia nell'origine e l'altro estremo abbia coordinata $x = l$; supponiamo inoltre che il punto $P$ si trovi dal lato di questo estremo, e che quindi abbia ascissa $x = l + d$. Il fatto che la carica sia uniformemente distribuita con densità $X$ implica che, preso un tratto infinitesimo di filo di lunghezza $dx$, questo porti una carica $dq = X dx$. Calcoliamo il campo infinitesimo $dE$ generato da questa carica in $P$, poi eseguiamo l'integrale su tutto il filo, cioè per $x$ che va da $0$ ad $l$, per calcolare l'intensità del campo elettrico in $P$. Il campo infinitesimo generato dalla carica $dq$ in $P$ è pari a $$ dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{X dx}{l+d \ - x}^2 $$Fai attenzione alla distanza, mi raccomando! Ora dobbiamo svolgere l'integrale che ci fornisce $E$:$$ E = \int_{0}^l \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{X dx}{l+d \ - x}^2 = \frac{X}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{0}^l \frac{dx}{l+d \ - x}^2 $$La frazione l'abbiamo portata fuori perché si tratta di una costante. Sappiamo che $\int t^{-2} dt = - t^{-1} + C$ (come ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrali-delle-funzioni-elementari-tabella-riassuntiva-7507.html); possiamo quindi svolgere l'integrale mediante sostituzione: il processo generale è spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-sostituzione-formule-ed-esempi-di-integrali-risolti-7433.html. Noi effettuiamo la sostituzione $ t = l+d \ - x $, da cui si deriva che il differenziale $dt$ è pari a $-dx$, e che gli estremi di integrazione sono $l+d$ e $d$ rispettivamente. Procediamo quindi:$$ E = \frac{X}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{l+d}^d \frac{-dt}{t^2} = \frac{X}{4 \pi \varepsilon_0}\left[ \frac{1}{t} \right]_{l+d}^{d} = \frac{X}{4 \pi \varepsilon_0}\left( \frac{1}{d} - \frac{1}{l+d}\right) = \frac{X}{4\pi\varepsilon_0} \frac{l+d-d}{l(l+d)}$$L'espressione più comoda per il campo, a mio avviso, è la seguente:$$ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{X l}{d (l+d)}$$perché mette bene in evidenza tutti i parametri coinvolti: la carica totale $X l$, la distanza $d$ e la lunghezza $l$, nonché il mezzo in cui è immerso il tutto (che assumiamo essere il vuoto) nella costante $\varepsilon_0$. Spero sia tutto chiaro! Se hai qualsiasi dubbio, chiedi pure :D Ciao e buona giornata!