In questa lezione enunciamo due criteri per stabilire il carattere di una serie numerica: il criterio della radice e il criterio del confronto.
Il criterio della radice afferma quanto segue. Sia $a_n$ una successione numerica definitivamente non negativa, cioè, almeno da un certo punto in avanti, sia $a_n \geq 0$. Supponiamo che esista il limite $l = \lim \sqrt[n]{a_n}$. Allora la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$
- Converge se $l < 1$
- Diverge se $ l > 1$
Anche in questo caso, come nel caso del criterio del rapporto, se $l = 1$ non possiamo dire nulla.
Analizziamo in seguito il criterio del confronto. Come suggerisce il nome, il criterio del confronto chiama in causa due serie, non una sola. Esso stabilisce quanto segue. Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che, definitivamente, $0 \leq a_n \leq b_n$. Allora possiamo dire che
- Se la serie $\sum b_n$ converge, anche la serie $\sum a_n$ converge
- Se la serie $\sum a_n$ diverge (a $+\infty$), anche la serie $\sum b_n$ diverge (sempre a $ + \infty$)
Siccome tutte queste proprietà coinvolgono il calcolo dei limiti, è molto utile ricordare le formule dei limiti notevoli.
Nelle prossime lezioni ci occuperemo del criterio del confronto asintotico, per poi concentrarci su alcuni esercizi svolti, anche per capire come utilizzare tutti questi strumenti nella pratica.