Equazioni e disequazioni goniometriche di secondo grado

In questa lezione affrontiamo le equazioni goniometriche di secondo grado, e le relative disequazioni. Per risolvere questo tipo di problemi è necessario avere ben presente come si risolvano le equazioni algebriche di secondo grado, nonché, naturalmente, le disequazioni di secondo grado.

La strategia è sempre la stessa. Si usano varie identità goniometriche e trigonometriche per far sì che nell’equazione compaia un’unica funzione trigonometrica: seno, coseno o tangente. Siccome il grado di ciasun singolo addendo dell’equazione non è mai superiore al secondo, è sempre possibile ricondursi a una delle tre seguenti forme:$$ \begin{array}{l} a \sin^2(x) + b \sin(x) + c = 0 \\  a \cos^2(x) + b \cos(x) + c = 0 \\ a \tan^2(x) + b \tan(x) + c = 0 \end{array}$$A questo punto, si effettua la sosituzione $t = \sin(x)$, $\cos (x)$ o $\tan(x)$, a seconda dei casi, e si procede a risolvere l’equazione di secondo grado risultate:$$ at^2 + b t + c = 0 $$Una volta trovate le soluzioni di questa equazione, $t_1$ e $t_2$, si rieffettua la sostituzione, imponendo che $t = t_1 \text{ oppure } t= t_2$: queste due sono effettivamente equazioni goniometriche elementari. La soluzione di queste ultime porta alla soluzione dell’equazione di partenza.

Le disequazioni di secondo grado si risolvono praticamente nello stesso modo, tranne per il fatto che, nell’ultimo passaggio, si perviene a due disequazioni goniometriche elementari.