Equazioni e disequazioni goniometriche lineari

In questa lezione spieghiamo brevemente come possono essere risolte le equazioni goniometriche lineari. Queste si presentano tutte nella forma$$ a \sin(x) + b\cos(x) + c = 0 $$Presentiamo tre metodi di risoluzione.

  1. Servirsi delle formule parametriche e, mediante le opportune sostituzioni, ricondurre l’equazione goniometrica ad un’equazione polinomiale. Per comodità, riportiamo le formule parametriche qui di seguito:$$ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = t \quad \sin (x) = \frac{2t}{1 + t^2} \quad \cos(x) = \frac{1-t^2}{1 +t^2} $$
  2. Si può anche utilizzare il cosiddetto angolo aggiunto. Si tratta di trovare un angolo $\alpha$ tale per cui, eventualmente moltiplicando opportunamente l’equazione per un determinato fattore, si abbia $a = \cos(\alpha)$ e $b = \sin(\alpha)$, per cui l’equazione assume la forma $ \cos(\alpha) \sin(x) + \sin(\alpha) \cos(x) = d $. Ricordando ora la formula di addizione del seno, l’equazione diventa $ \sin \left( x + \alpha \right) = d$, che è riconducibile al caso elementare.
  3. Infine si può mettere a sistema l’equazione data con l’identità trigonometrica fondamentale, $\sin^2 (x)  + \cos^2 (x) = 1$, di modo da pervenire al sistema di secondo grado$$ \begin{cases}  a \sin(x) + b\cos(x) + c = 0 \\ \sin^2 (x)  + \cos^2 (x) = 1\end{cases}$$Questo sistema si può risolvere come un normale sistema di secondo grado, ricordandosi però all’ultimo passaggio di risolvere le equazioni goniometriche elementari a cui si arriva.