Data una funzione $f(x)$, l’integrale definito in un certo intervallo $[a,b]$ ha un significato geometrico preciso: rappresenta l’area A compresa tra il grafico della funzione $f(x)$, l’asse $x$ e le due rette verticali $x=a$ e $x=b$.
La definizione rigorosa di integrale (o meglio, dell’integrale di Riemann) considera le possibili approssimazioni per eccesso (o per difetto) dell’area $A$, effettuate con funzioni a gradino costruite al di sopra (o al di sotto) della curva. Esistono infinite funzioni a gradino: ecco per esempio il disegno di una funzione di questo tipo che approssima $A$ per eccesso.
Se la migliore approssimazione per difetto e per eccesso coincidono, diremo che tale numero è il valore dell’integrale definito della funzione, cioè dell’area $A$.
Nella pratica, il procedimento per trovare l’area $A$ non tiene conto di tutte queste sottigliezze tecniche. Esiste infatti il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci permette di calcolare il valore dell’integrale definito seguendo questo procedimento:
- trovare una primitiva di $f(x)$, cioè una funzione $F(x)$ tale che $F’(x)=f(x)$;
- calcolare $F(a)$ e $F(b)$;
- sfruttare il teorema, che afferma questo: $$A = \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
Possiamo estendere questo concetto anche ad alcuni casi in cui gli estremi di integrazione sono infinito, o altri casi in cui la funzione integranda $f$ non è limitata sull'intervallo di integrazione: si tratta degli integrali impropri.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math