Abbiamo ampiamente discusso e affrontato il problema di integrare una funzione su un intervallo chiuso e limitato: sappiamo che, se una funzione $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ ammette una primitiva $F$ su $[a,b]$ (cioè una funzione continua e derivabile $F: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ tale che, in ogni punto $x \in (a,b)$ sia $F’(x) = f(x)$) il suo integrale definito $\int_a^b f(x) \ dx$ può essere calcolato mediante la formula$$ \int_a^b f(x) \ dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$Questo ci permette di calcolare parecchi integrali. Facciamo notare che, perchè questa formula sia valida, l’intervallo $[a,b]$ deve essere chiuso e limitato, ed $f$ e $F$ devono essere ovunque definite su tale intervallo. Tuttavia, a volte si incontrano degli esercizi che richiedono il calcolo di integrali un po’ più strani:$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{\cos^2(x) + 3} \ dx \ ;\qquad \int_{0}^1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \ dx \ ;\qquad \int_0^{+\infty} \frac{1}{x}$$Il primo di questi integrali presenta come estremo di integrazione l’infinito $+ \infty$, mentre nel secondo la funzione integranda presenta un asintoto verticale in $x= 0$, e non è quindi definita (nè limitata) su tutto l’intervallo $[0,1]$; il terzo presenta entrambe le problematiche. Vorremmo poter estendere il calcolo integrale che abbiamo usato sino a questo momento anche a questi casi: occorre introdurre il concetto di integrale improprio.
L’idea che proviamo a seguire è la seguente: integriamo la funzione $f$ “vicino” al punto problematico, e poi ci avviciniamo con un limite.
Trattiamo dapprima il caso in cui la funzione integranda presenti problematicità al finito.
Definizione (integrale improprio I)
Sia $f$ una funzione reale di variabile reale, $f:[a,b) \rightarrow \mathbb{R}$, la quale sia integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[a,b)$; in particolare richiediamo che esista, $\forall t \in [a,b)$, l’integrale $\int_a^t f (x) \ dx$. Se esiste, finito, il limite$$ \lim_{t \to b^-} \int_a^t f (x) \ dx $$allora diciamo che l’integrale di $f$ su $[a,b)$ converge. Se il limite non esiste, o esiste infinito, diciamo viceversa che l’integrale di $f$ diverge su $[a,b)$. Nel caso in cui converga, chiamiamo $\int_a^b f(x) \ dx$ l’integrale improprio di $f$ su $[a,b)$. Si dice anche che $f$ è integrabile in senso improprio o lato su $[a,b)$.
Bisogna prestare molta attenzione, poiché il limite nella definizione è fatto su un estremo di integrazione: la funzione $f$ o la variabile di integrazione $x$ non vengono toccate; integriamo $f$ sin dove possiamo, e in seguito proviamo ad estendere questo integrale sino al punto problematico. Questo procedimento potrebbe essere, in generale, molto complicato: tuttavia, se abbiamo a disposizione una primitiva di $f$, il limite è facile da calcolare. Supponiamo infatti che $F$ sia una primitiva di $f$ su $[a,b)$: allora, per ogni $t \in [a,b)$, vale, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, $\int_a^t f(x) \ dx = F(t) - F(a)$; calcolare il limite $\lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) \ dx$ equivale quindi a calcolare il limite $\lim_{t \to b^-} F(t) - F(a) $. L’esistenza di questo limite, e il fatto che sia finito, dipendono dalle caratteristiche della primitiva $F$: possiamo dunque enunciare la seguente proposizione.
Proposizione (calcolo di integrali impropri I)
Sia $f:[a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione reale di variabile reale che ammetta su $[a,b)$ una primitiva $F$. L’integrale $\int_a^b f(x) \ dx$ converge se e solo se esiste finito il limite $\lim_{t \to b^-} F(t)$. In tal caso, l’integrale improprio di $f$ vale$$ \int_a^b f(x) \ dx = \lim_{t \to b^-} F(t) - F(a)$$
Definizione e proposizione possono essere trattate anche al caso, del tutto analogo, in cui non sia l’estremo destro dell’intervallo ad essere problematico, ma l’estremo sinistro: cioè, nel caso in cui la funzione $f$ sia definita su $(a,b]$; se disponiamo di una primitiva, in tal caso occorrerà ovviamente eseguire il limite per $t \to a^+$. Chiariamo il tutto con una delle situazioni che abbiamo presentato all’inizio:
Esempio
Proviamo a risolvere l’integrale $$ \int_{0}^1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \ dx $$La funzione integranda $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ è definita su $(0,1]$, e presenta in $x=0$ un asintoto verticale, poichè $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$. Ricordandoci le primitive delle funzioni elementari, sappiamo che una primitiva di $x^{\alpha}$, per $\alpha \neq -1$, è $\frac{1}{\alpha +1} \ x^{\alpha +1}$: nel nostro caso, $\alpha = - \frac{2}{3}$, da cui ricaviamo la primitiva$$\int f(x) \ dx = \frac{1}{-\frac{2}{3} + 1} x^{-\frac{2}{3} + 1} = \dots = 3 \ x^{\frac{1}{3}}$$Per vedere se converge l’integrale di $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ su $(0,1]$ occorre dunque eseguire il seguetne limite:$$ \lim_{t \to 0^+} 3 x^{\frac{1}{3}} = \dots = 0$$Il limite esiste finito, dunque, per la proposizione precedente, l’integrale di $f$ converge su $(0,1]$, e vale $$ \int_0^1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \ dx = 3 x^{\frac{1}{3}}\lvert_{x = 1} - \lim_{t \to 0} 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 - 0 = 3.$$
Veniamo ora al secondo caso: quello in cui uno degli estremi di integrazione è l’infinito.
Definizione (integrale improprio II)
Sia $f$ una funzione reale di variabile reale, $f:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, la quale sia integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $[a,+ \infty)$; in particolare richiediamo che esista, $\forall M \in [a,\infty)$, l’integrale $\int_a^M f (x) \ dx$. Se esiste, finito, il limite$$ \lim_{M \to + \infty} \int_a^M f (x) \ dx $$allora diciamo che l’integrale di $f$ su $[a, + \infty)$ converge. Se il limite non esiste, o esiste infinito, diciamo viceversa che l’integrale di $f$ diverge su $[a, + \infty)$. Nel caso in cui converga, chiamiamo $\int_a^{+ \infty} f(x) \ dx$ l’integrale improprio di $f$ su $[a, + \infty)$; come prima, si dice anche che $f$ è integrabile in senso improprio o lato su $[a, + \infty)$.
Come si vede, la definizione è del tutto analoga alla precedente; anche qui, se abbiamo a disposizione una primitiva $F$ di $f$, la convergenza dell’integrale di $f$ si riduce al calcolo di un limite:
Proposizione (calcolo di integrali impropri II)
Sia $f:[a,+ \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione reale di variabile reale che ammetta su $[a,+ \infty)$ una primitiva $F$. L’integrale $\int_a^{+ \infty} f(x) \ dx$ converge se e solo se esiste finito il limite $\lim_{t \to + \infty} F(t)$. In tal caso, l’integrale improprio di $f$ vale$$ \int_a^{+ \infty} f(x) \ dx = \lim_{t \to + \infty} F(t) - F(a)$$
Anche in questo caso, la definizione e la proposizione precedenti si possono adattare al caso di integrali da estendere a $- \infty$.
Esempio
Cerchiamo ora di risolvere l’integrale, presentato all’inizio, $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x)}{\cos^2(x) + 3} \ dx$. Innanzitutto ricerchiamo una primitiva della funzione $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x) + 3}$. Per farlo, dobbiamo risolvere l’integrale indefinito $\int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x) + 3} \ dx$: non si tratta di un integrale elementare, ma possiamo risolverlo con i seguenti passaggi:
- Al denominatore raccogliamo un $3$, di modo che l’espressione funzione $f$ diventi$$ \frac{1}{3}\frac{\sin(x)}{\frac{\cos^2(x)}{3} + 1}$$
- Mettiamo in evidenza il quadrato del coseno: $$\frac{1}{3}\frac{\sin(x)}{\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1}$$
- Operiamo, nell’integrale indefinito, la sostituzione $\frac{\cos(x)}{\sqrt{3}} = s$. I differenziali sono quindi $$ - \frac{\sin(x)}{\sqrt{3}} \ dx = ds \quad \Rightarrow \quad \sin(x) \ dx = -\sqrt{3} ds $$
- Riscirviamo l’espressione dell’integrale indefinito alla luce dei punti precedenti:$$ \int \frac{\sin(x)}{\cos^2 (x) + 3} \ dx = \int \frac{1}{3}\frac{\sin(x)\ dx}{\left(\frac{\cos(x)}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} = \int - \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{1}{s^2 + 1} \ ds$$
- Riconosciamo l’integrale della funzione arcotangente $\int \frac{ds}{ s^2 + 1} = \arctan ( s ) + C$, da cui$$ \int - \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{1}{s^2 + 1} \ ds = - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan(s) + C $$
- Risostituendo $s = \frac{\cos(x)}{\sqrt{3}}$ nell’espresisone appena trovata, otteniamo una primitiva per $f(x)$:$$ \int f(x) \ dx = - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left( \frac{\cos(x)}{\sqrt{3}} \right) $$
Per brevità, chiamiamo la primitiva $F(t) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left( \frac{\cos(t)}{\sqrt{3}} \right)$. Una volta trovata una primitiva di $f(x)$, possiamo vedere se il suo integrale su $[0, +\infty)$ converge: basta risolvere il limite$$ \lim_{t \to + \infty} F(t)$$Purtroppo, questo limite non esiste. Difatti, sebbene la funzione $F$ sia limitata per $t \to + \infty$, i suoi valori oscillano:
- seguendo punti del tipo $t_n = 2n \pi$, avremo $F(t_n) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$, poichè $\cos(2n\pi) = 1$, $\arctan\left( \frac{1}{ \sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ e quindi $F(t_n) = \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$;
- seguendo invece punti del tipo $t’_n = \frac{\pi}{2} + 2n \pi$, si ottiene $F(t’_n) = 0$, dal momento che $\cos(\frac{\pi}{2} + 2n \pi) = 0$ e $\arctan(0) = 0$.
Sappiamo che il limite, se esiste, è unico: nel nostro caso, seguendo due percorsi che portano entrambi a $+ \infty$ per $n \to + \infty$, giungiamo a due risultati differenti; di conseguenza il limite non può esistere.
Concludiamo quindi che l’integrale $\int_{0}^{+ \infty} f(x) \ dx$ diverge.
Esempio
Cerchiamo infine di risolvere il terzo esempio introdotto all’inizio, ossia $\int_0^{ + \infty} \frac{1}{x} \ dx$. In questo caso, si presentano entrambe le problematiche: innanzitutto, la funzione $\frac{1}{x}$ non è definita in $x = 0$, e presenta per $x=0$ un asintoto verticale, poichè $\lim_{x \to 0^\pm} \frac{1}{x} = \pm \infty$; inoltre, uno dei due estremi di integrazione è $+\infty$. Per analizzare questa situazione, è opportuno spezzare l’integrale in due parti: qualora esistesse $\int_{a}^{b} f (x) \ dx$, sappiamo, per le proprietà degli integrali, che $\forall c \in [a, b]$ vale $\int_{a}^{b} f (x) \ dx = \int_{a}^{c} f (x) \ dx + \int_{c}^{b} f (x) \ dx$. Allora, scelto a piacere un punto $c \in (0, + \infty)$, verifichiamo la convergenza dell’integrale in questione analizzando i due limiti $$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^c \frac{1}{x}\ dx \quad \text{ e } \quad \lim_{M \to + \infty} \int_{c}^M \frac{1}{x} \ dx$$Siamo fortunati perchè una primitiva di $\frac{1}{x}$, su $(0, + \infty)$ la conosciamo bene: è il logaritmo naturale $F(x) = \ln (x)$. Allora, i limiti precedenti si riducono, rispettivamente, a questi:$$ \lim_{\varepsilon \to 0} F(c) - F(\varepsilon) \quad \text{ e } \quad \lim_{M \to + \infty}F(M) - F(c)$$Come sappiamo dal calcolo dei limiti, il comportamento della funzione logaritmo agli estremi del dominio è il seguente: $\lim_{t \to 0} \ln(t) = -\infty$ e $\lim_{t \to +\infty} \ln(t) = + \infty$. Nessuno dei due limiti considerati è finito! Dobbiamo quindi concludere che l’integrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \ dx$ diverge.
Ci apprestiamo ora ad analizzare il comportamento dei più comuni integrali impropri.
Per ogni valore del parametro $p \in \mathbb{R}$, sia $f_p: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ la funzione così definita:$$f_p(x) = \frac{1}{x^p}$$Fissato $b > 0$ a piacere, consideriamo gli integrali (eventualmente impropri) $\int_{0}^b f_p(x)$ e $\int_{b}^{+\infty} f_p(x)$. I casi che si possono presentare sono riassunti di seguito.
- Consideriamo $\int_{0}^b f_p(x)$.
Se $p \leq 0$, la funzione $f_p$ non presenta alcun problema in $x=0$, essendo ivi definita: possiamo procedere al calcolo dell’integrale, che non risulta quindi improprio, con i metodi ordinari.
Se $0 < p < 1$, fa funzione $f_p$ presenta un asintoto verticale per $x = 0$, e quindi l’integrale è improprio; mostriamo che esso converge: una primitiva di $f_p$ è data da $F_p(x) = \frac{1}{1-p} \cdot \frac{1}{x^{p-1}}$, la quale ammette limite $\lim_{x \to 0^+} F_p(x) = 0$.
Se $p \geq 1$, $f_p$ presenta sempre un asintoto verticale in $x= 0$, e l’integrale è improprio; in questa caso, tuttavia, l’integrale diverge: se $p=1$, una primitiva di $f_p$ è il logaritmo naturale, che tende a $ - \infty$ per $x \to 0^+$, mentre se $p >1$ la primitiva $\frac{1}{1-p} \cdot \frac{1}{x^{p-1}}$ tende ancora a $- \infty$.
- Consideriamo $\int_{b}^{+ \infty} f_p(x) \ dx$. Questo è sempre un integrale improprio, dato che un estremo di integrazione è l’infinito.
Se $ p <1$, una primitiva su $(b, + \infty)$ di $f_p$ è $F_p (x) = \frac{1}{1-p} \cdot \frac{1}{x^{p-1}}$, il cui limite all’infinito è $\lim_{x \to + \infty} F_p (x) = + \infty$: l’integrale quindi diverge.
Se $ p = 1$, una primitiva su $(b, + \infty)$ di $f_1$ è il logaritmo naturale $F_1 (x)= \ln (x)$, il quale tende a $+\infty$ per $x \to + \infty$: l’integrale continua a divergere anche in questo caso.
Se $ p > 1$, una primitiva di $f_p$ su $(b, + \infty)$ è sempre $F_p (x) = \frac{1}{1-p} \cdot \frac{1}{x^{p-1}}$, la quale però ora ammette limite finito per $x \to + \infty$: $\lim_{x \to + \infty} F_p (x) = 0$. Di conseguenza, l’integrale converge.
Possiamo riassumere tutti i risultati precedenti in una semplice proposizione:
Proposizione
Valgono le seguenti implicazioni: comunque scelto $c > 0$, ##KATEX##\begin{aligned}& \boxed{\int_{0}^{c\ \ \ \ \ } \frac{1}{x^p} \ dx \text{ converge } \quad \Leftrightarrow \quad p<1} \\ & \boxed{\int_{c}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \ dx \text{ converge } \quad \Leftrightarrow \quad p>1 }\end{aligned}##KATEX##