Innanzitutto, che operazione compiamo quando utilizziamo il calcolo letterale? Con il calcolo letterale si utilizzano dei simboli (usualmente lettere) al posto degli elementi di un insieme (di solito insiemi numerici), per sottolineare che non stiamo indicando nessun elemento in particolare, ma uno generico. Stiamo perciò facendo un’affermazione che vale contemporaneamente per tutti gli elementi di un insieme, non solo uno specifico. Perché lo si fa? Ci sono almeno due possibili risposte.
Utilità.
In alcune occasioni sostituire simboli ai numeri aiuta a semplificare i conti. Sostituire a dei numeri un'unica semplice lettera può permettere di svolgere molti calcoli simili una volta sola, oppure evitare di dover effettuare conti con numeri di molte cifre. Se si devono effettuare molti calcoli dalla stessa struttura, ma con numeri diversi, è utile fare i calcoli una volta sola, sostituendo ai numeri un simbolo, e poi sostituire ai simboli i numeri, così da ottenere i risultati voluti. Ma oltre a questo vantaggio, sostituire lettere a numeri permette di compiere dei conti e arrivare a dei risultati che valgono per un’intera classe di elementi, e non per uno solo.
Un particolare pregio del calcolo letterale è poi quello di non dover utilizzare la calcolatrice. Infatti, evitare di svolgere ogni possibile conto numerico immettendo i dati in un calcolatore elettronico può, in alcune occasioni, far risparmiare molto tempo, evitare errori e aiutare a comprendere a fondo la situazione che si sta trattando. Il calcolo letterale permette, quindi, di risolvere problemi tra loro simili.
Generalità
In alcuni contesti utilizzare dei simboli per indicare generici elementi di un insieme aiuta ad esprimere delle caratteristiche di intere classi di elementi, non singoli oggetti. Questo è uno degli aspetti più caratteristici della matematica, occuparsi di fare scoperte e ricavare proprietà su intere categorie di oggetti, nel nostro caso numeri, piuttosto che sui singoli. Questo bisogno di generalizzare non è sentito solo in matematica, è simile a ciò che succede in molti contesti quotidiani. Ad esempio, se diciamo:
"Un qualunque individuo minorenne trovato alla guida di un’auto sta commettendo reato.",
non ci interessa affatto sapere se tale individuo si chiama Andrea o Giovanni, se è biondo o castano, o se l’auto è una FIAT o una Lamborghini. Ciò che ci interessa è che il soggetto in questione è un individuo (cioè un elemento dell’insieme delle persone) minorenne (un elemento dell’insieme delle persone che non ha ancora raggiunto i $18$ anni di età) e che si trova alla guida di un auto (un elemento dell’insieme di quei particolari mezzi di trasporto che sono le automobili). Così allo stesso modo se diciamo che:
Per ogni numero reale $a$, vale $a^2 \geq 0$,
non importa se tale numero è $12$ oppure $\sqrt{17}$, l’affermazione è vera per tutti i numeri reali (infatti, qualunque numero reale elevato alla seconda potenza è maggiore di zero).
In questo modo si può anche osservare come la matematica non deve essere vista come limitante. Nessuno dice che è sempre giusto fare i conti con i numeri, né che bisogna sempre sostituire i numeri con le lettere: l’importante è imparare a gestire entrambe le situazioni, a seconda dell’occorrenza. Se voglio comprare delle scarpe che costano $50$ euro e sono scontate del $12 \%$, mi interessa scoprire quanto devo pagare, non fare conti astratti. Ma se sono un commerciante che ogni anno vende un certo numero di paia di scarpe, e devo calcolare quali sconti fare per avere un certo guadagno e aumentare le vendite, è utile che faccia dei conti riapplicabili in ogni occasione, e non che ogni volta perda tempo a ripetere gli stessi procedimenti.
Nelle prossime lezioni, cercheremo quindi di spiegare perché e come compiere astrazioni algebriche per risolvere problemi, ovvero cercheremo di spiegare e introdurre una delle attività più caratteristiche della matematica.