Per affrontare il calcolo dei limiti di funzioni polinomiali nel caso di forme indeterminate del tipo $+\infty-\infty$ dobbiamo stabilire alcuni punti fermi e lo facciamo considerando come i singoli monomi $x^n$ si comportano agli estremi del proprio dominio, ovvero quando $x$ tende a $\pm\infty$.
La prima distinzione va fatta tra i monomi di grado pari e quelli di grado dispari.
Se infatti $n$ è pari (situazione che di solito si indica dicendo che $n$ può essere espresso come $n=2k$ con $k \in\mathbb N$) il valore assunto dal monomio non sarà mai negativo. Possiamo allora concludere che se $n$ è pari valgono i seguenti limiti:
$$\lim_{x\to+\infty}x^n = +\infty$$
$$ \lim_{x\to-\infty} x^n =+\infty$$
oppure, utilizzando un’unica formula: $$ \text{$n$ pari} \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty} x^n = +\infty$$
Al contrario se n è dispari ($n=2k+1$ con $k \in\mathbb N$) la potenza mantiene il segno della base così che valgono piuttosto le seguenti
$$\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$$
$$\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$$
che possono essere ancora una volta sintetizzate nell’unica formua $$ \text{$n$ dispari} \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}x^n=\pm\infty$$
Purtroppo però, è facilissimo combinare tra loro questi semplici risultati in modo da far emergere una forma indeterminata. Se per esempio consideriamo $f(x)=x^2+x$ non abbiamo problemi a riconoscere che $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)} = +\infty+\infty = +\infty$, ma basta considerare l’altro estremo del domino ($x\to-\infty$) per incappare in una forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$. Nel nostro caso particolare sappiamo già che il grafico di $f$ è una parabola, quindi anche andando all’infinito a sinistra la funzione cresce senza fermarsi mai, assumendo prima o poi e definitivamente il segno positivo. In questo caso particolare quindi conoscere il grafico ci permette di dire che $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. Sembrerebbe che la potenza più grande, $x^2$, abbia dominato quella più piccola imprimendo alla funzione complessiva il suo comportamento all’infinito. Ma si tratta di una proprietà generale o è un principio valido solo in questa specifica situazione?
Un po’ di manipolazione algebrica ci permette di arrivare alla giusta conclusione. Raccogliamo a fattore comune in f la potenza di grado maggiore ottenendo
$$ \lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} (x^2 + x) = \lim_{x\to-\infty} x^2 \left( \frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} \right) = \lim_{x\to-\infty} x^2 \left(1 + \frac{1}{x} \right)$$
Ora possiamo osservare che il limite del secondo termine tra parentesi ($\frac{1}{x}$) è del tipo $\frac{1}{\infty}$: non è una forma di indecisione, anzi è zero. Di conseguenza la parentesi tende complessivamente a uno e quindi $f$ si comporta all’infinito come $1 \cdot x^2 = x^2$. Occorre notare che questo vale sia che $x$ tenda a $+\infty$ che a $-\infty$.
Il calcolo può essere ripetuto per un generico polinomio di coefficienti $a_0, a_1, \dots, a_n$ $$ \lim_{x \to \pm \infty} \left( a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \right) = $$ $$ = \lim_{x \to \pm \infty} a_n x^n \left(1 + \frac{a_{n-1}}{a_n} \frac{1}{x^{n-1}} + \dots + \frac{a_1}{a_n} \frac{1}{x^{n-1}} + \frac{a_0}{a_n} \frac{1}{x^n} \right) = \lim_{x\to\pm\infty}a_n x^n$$
ovvero un polinomio all’infinito si comporta come il suo monomio di grado più alto. Ciò è in accordo con la cosiddetta "gerarchia degli infiniti", come illustrato per i polinomi e per le funzioni esponenziale e logaritmo.