Il principio di Pascal sta alla base della meccanica dei fluidi, quella branca della fisica che si occupa, appunto, di studiare gli stati di equilibrio o di moto di sistemi fisici costituiti, in parte o totalmente, da fluidi o porzioni di fluido.
Fluidi e Liquidi Ideali
Prima di enunciare il principio di Pascal, occorre una precisazione. In fisica, per fluido si intende l’insieme di quegli stati di aggregazione della materia che non occupano un volume proprio, come i liquidi o i gas. Tutti i fluidi, dunque, non hanno forma propria.
Facciamo un’ulteriore distinzione all’interno dei fluidi, definendo i fluidi ideali: le forze che agiscono su un fluido ideale hanno unicamente carattere di pressione, possono agire cioè solo in direzione normale alla superficie di fluido considerata, e mai di taglio.
Dobbiamo ulteriormente restringere la nostra indagine unicamente ai liquidi ideali: i liquidi ideali si distinguono dai fluidi ideali perchè sono macroscopicamente incomprimibili, e, microscopicamente, le molecole che li compongono non esercitano forze attrattive tra di sé o sulle pareti di un eventuale contenitore. I gas ideali invece posseggono solo questa proprietà miscroscopica, mentre sono comprimibili (secondo una ben precisa legge).
Naturalmente, questa è un’astrazione di quello che si verifica realmente: nessun liquido o fluido, in un esperimento o nella vita reale, si comporterà come un liquido o un fluido ideale, ma solo in parte, approssimando i risultati teorici prescritti dalle leggi fisiche. Questa semplificazione tuttavia è assai utile per cogliere gli aspetti che accomunano tutti i fluidi, e in particolare, i liquidi.
Enunciato del Principio di Pascal
Quello che segue è un enunciato o legge fisica che storicamente è noto come principio o legge di Pascal, dal nome dello scienziato francese Blaise Pascal che nel 1653 lo enunciò per la prima volta nel suo trattato “Sur l'equilibre des liqueurs”.
Esso afferma che in un liquido ideale una pressione che venga esercitata in un punto qualsiasi viene trasmessa inalterata a ogni suo altro punto e in ogni sua direzione.
Isotropia della Pressione nei Liquidi Ideali
Il principio di Pascal caratterizza i liquidi ideali, e quindi incomprimibili. Grazie alla legge di Pascal, la pressione, all’interno di un liquido incomprimibile, si trasmette inalterata: se immaginassi di applicare una forza ad una determinata superficie nel liquido ideale, la pressione che ne risulterebbe verrebbe avvertita in qualunque punto del fluido, su qualunque altra superficie. La pressione quindi si trasmette di punto in punto, e diventa indipendente dalla definizione usuale, (cioè il rapporto tra una forza e l’area della superficie cui viene applicata): si tratta del principio di isotropia delle pressioni locali.
Assumendo valido il principio di Pascal, dimostriamo il principio di isotropia della pressione. Consideriamo un punto $O$ situato all’interno di un liquido ideale, appartenente a due differenti superfici $\mathcal{S}_1$ ed $\mathcal{S}_2$, aventi direzioni normali $\vec{n}_1$ ed $\vec{n}_2$ rispettivamente. Esercitiamo una certa pressione $\vec{p}$ in un qualche punto del liquido: questa, per la legge di Pascal, si trasmetterà invariata anche in $O$. Se il valore $p_1$ della pressione esercitata sulla superficie $\mathcal{S}_1$ in direzione $\vec{n}_1$ fosse differente, in modulo, dal valore $p_2$ della pressione esercitata su $\mathcal{S}_2$ lungo $\vec{n}_2$, allora verrebbe a cadere il principio di Pascal. Dunque, $p_1$ e $p_2$ sono uguali in modulo.
Ripetendo il medesimo ragionamento per una qualsiasi superficie passante per $O$, concludiamo che, indipendentemente dalla direzione (e dunque dal verso) assunta dalla pressione, essa assume lo stesso valore in modulo: per questo motivo, in un punto interno ad un liquido ideale, la pressione viene spesso rappresentata come un insieme di vettori applicati a quel punto, tutti con lo stesso modulo.
Fate però attenzione che questo accadde solo all’interno del liquido considerato: contro le pareti del contenitore che lo confina, oppure sulla superficie che separa due fluidi differenti, e in generale verso l’esterno, la pressione mantiene il suo carattere vettoriale, diretta come il vettore normale alla superficie. In generale, queste pressioni sulle superfici di separazione sono responsabili dei moti del liquido: ad ogni pressione corrisponde una forza, inversamente proporzionale all’area della superficie su cui è esercitata, ed ad ogni forza, secondo la legge fondamentale della dinamica, un’accelerazione, e quindi, in ultima analisi, un movimento.
Equilibrio Idrostatico
Al contrario, definiamo lo stato di quiete di un liquido, detto equilibrio idrostatico: un liquido ideale si dice in equilibrio quando, su un qualunque elemento di superficie del liquido, le pressioni esercitate sulle due facce della superficie sono uguali in modulo ma opposte in verso.
Questo infatti equivale al primo principio della dinamica o Legge d’Inerzia, secondo cui un corpo perdura nel suo stato di quiete se la risultate delle forze agenti è nulla: in presenza di una pressione $\vec{p}$, agisce la forza $\vec{F} = \vec{p} \mathcal{S}$, dove $\mathcal{S}$ è l’area della superficie considerata; essendo le pressioni opposte in verso ma uguali in direzione e modulo, e avendo considerato la medesima superficie, anche le forze devono essere uguali in modulo e direzione ma opposte in verso: la loro somma vettoriale è nulla, e il principio d’inerzia è garantito.
L’equilibrio idrostatico si verifica automaticamente all’interno di un liquido ideale (appunto, per la legge di Pascal), mentre non è detto che si verifichi su quelle superfici di liquido che sono a contatto con l’esterno o con altri elementi o sostanze. La forza che un liquido in quiete esercita su ogni superficie a contatto con esso si chiama pressione idrostatica, la cui misura è data dalla legge di Stevino. Per ricercare quindi la condizione di equilibrio in un liquido ideale, quindi, sarà utile prendere in considerazione solo le superfici di contatto con l’esterno e calcolare le forze agenti su di esse. Applicando questo principio, si possono dedurre molte leggi valide in idrostatica, come la legge di Archimede o il principio dei vasi comunicanti.
Esempio - il Torchio Idraulico
Facciamo un semplice esempio.
Supponiamo di avere un torchio idraulico: questo è un dispositivo costituito da due superfici di diversa area, $\mathcal{S}_1$ ed $\mathcal{S}_2$, collegate da un fluido incomprimibile.
Se si esercita una forza $F_1$ sulla superficie $S_1$, per il principio di Pascal la pressione suscitata $p = \frac{F_1}{\mathcal{S}_1}$ si trasmette inalterata in ogni punto del liquido, sino a giungere alla superficie $\mathcal{S}_2$. La forza esercitata quindi su questa superficie sarà $F_2$, data da $$ F_2 = p \ \mathcal{S}_2 = \left( \frac{F_1}{\mathcal{S}_1} \right) \ \mathcal{S}_2 = F_1 \cdot \left( \frac{\mathcal{S}_2}{\mathcal{S}_1} \right)$$
Crediti Immagine: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prasa_hydrauliczna.svg
La forza esercitata sulla superficie $F_1$ viene dunque moltiplicata per il rapporto tra le aree $\frac{\mathcal{S}_2}{\mathcal{S}_1}$: variando questo rapporto, a fronte di forze modeste è possibile esercitarne di molto maggiori. Ad esempio, se $\mathcal{S}_2 > \mathcal{S}_1$, allora $\frac{\mathcal{S}_2}{\mathcal{S}_1} >1$, e di conseguenza $F_2 > F_1$: se l’area $\mathcal{S}_2$ fosse il triplo di $\mathcal{S}_1$, avremmo una forza $F_2$ pari al triplo di $F_1$. Possiamo anche enunciare questo risultato mediante una proporzione: $$ F_1 \ :\ \mathcal{S}_1 = F_2 \ :\ \mathcal{S}_2 $$
Per fare un esempio numerico, consideriamo un’auto di massa $m = 1566 \text{ kg}$ posta su una pedana di $\mathcal{S}_1 = 1.48 \text{ m}^2$, collegata ad un pistone di sezione $\mathcal{S}_2 = 131.4 \text{ cm}^2$. Quanta forza occorre esercitare sul pistone per riuscire ad alzare l’auto?
La forza esercitata dall’auto è il suo peso; approssimando l’accelerazione di gravità $g$ sulla superficie terrestre con $9.8 \text{ m}/\text{s}^2$, il peso dell’auto è pari a $ F_1 = m \ g = 15346.8 \text{ N}$. Questa forza trasmette al liquido contenuto nel torchio una pressione $p$ di $\frac{F_1}{\mathcal{S}_1} = 10369.46 \text{ Pa}$, che si propaga inalterata sino al pistone. La forza che otteniamo sul pistone è dunque $F_2 = p \ \mathcal{S}_2 = 10369.46 \cdot 0.01314 = 136.25 \text{ N}$; lo stesso risultato si può raggiungere attraverso $F_2 = \frac{\mathcal{S}_2}{\mathcal{S}_1} F_1$.
Notiamo che $136.25 \text{ N}$ di forza corrispondono al peso di una massa di circa $13.9 \text{ kg}$: con questo torchio, sono sufficienti quattordici chili per sollevare un’auto da una tonnellata e mezzo!