La legge di Stevino è un’equazione che, in idrostatica, permette di calcolare le differenze di pressione tra le superfici di un fluido ideale. Deve il suo nome al fisico fiammingo Simon Stevin, il quale la formulò su base sperimentale nel 1568. Un fluido è un corpo in uno stato in cui non occupa un volume definito, come nello stato liquido o aeriforme; in particolare, un fluido ideale è un fluido in cui le uniche forze che possono esercitarsi hanno carattere di pressione (cioè sono assenti attriti tra le varie porzioni di liquido).
La legge afferma che in un fluido ideale in stato di quiete, di densità costante $\rho$ e soggetto all’accelerazione di gravità $\vec{g}$, la differenza di pressione $\Delta \vec{p}$ registrata tra due superfici orizzontali distanti tra loro un’altezza $\Delta h$ è pari alla pressione esercitata dal peso della colonna di liquido sulla superficie inferiore: in un’unica formula$$ \Delta \vec{p} = \rho \ \vec{g} \ \Delta h$$
La formula precedente può essere dedotta in questo modo. Si consideri, per semplicità, una colonna cilindrica di liquido ideale, di base $\mathcal{S}$ e di altezza $\Delta h$. Il volume della colonna sarà dunque $V = \mathcal{S} \cdot \Delta h$. La massa $m$ di questa colonna può essere calcolata mediante la densità $\rho$: infatti, $\rho = \frac{m}{V}$ $\Rightarrow$ $m = \rho \cdot V$. Il peso della colonna di liquido quindi è dato da $\rho \cdot (\mathcal{S} \ \Delta h) \cdot \vec{g} $; la pressione esercitata da questo peso sulla base inferiore è quindi $$\frac{ \rho \cdot (\mathcal{S} \ \Delta h) \cdot \vec{g} }{ \mathcal{S} } = \rho\ \vec{g}\ \Delta h $$Questa pressione è stata calcolata a partire da una colonna cilindrica di altezza $\Delta h$ e base $\mathcal{S}$, ma come si vede nella sua espressione non compare l’area di base: la pressione dipende solo dalla profondità relativa $\Delta h$ alla quale è stata calcolata. Si noti altresì che fondamentale è la presenza della forza peso: senza il peso della colonna di liquido, non vi è pressione.
La pressione presente in un fluido ideale in stato di quiete si chiama pressione idrostatica. Se si prende un livello di riferimento in cui la pressione assume un valore noto $\vec{p}_0$, la pressione idrostatica a un qualunque altro livello si può calcolare mediante la legge di Stevino. Difatti, ponendoci ad una profondità $h$ rispetto al livello di riferimento prescelto, essa prescrive che $\Delta \vec{p} = \rho \vec{g} h$, ed essendo $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{idrostatica}} - \vec{p}_0$, si ottiene che la pressione idrostatica a profondità $h$ è data dalla formula$$ \vec{p}_{\text{idrostatica}} = \vec{p}_0 + \rho \vec{g} h $$
Solitamente, il livello di riferimento prescelto è il livello della superficie libera del liquido, su cui, solitamente, grava la pressione atmosferica $\vec{p}_{\text{atm}}$: a livello del mare, ad esempio, $\vec{p}_{\text{atm}}$ vale mediamente $1 \text{ atm} = 101325 \text{ Pa}$.
Grazie alla legge di Stevino si può spiegare il fenomeno dei vasi comunicanti. Questa legge sperimentale afferma che due recipienti tra loro comunicanti, riempiti con uno stesso fluido (ideale) e in presenza di gravità, vengono riempiti ad un medesimo livello, indipendentemente dalla loro forma.
Possiamo spiegare questo fenomeno separando idealmente i due recipienti, che chiameremo $A$ e $B$, con una superficie posta nel vano di comunicazione; riempiamo ora i due recipienti sino a raggiungere l’equilibrio dinamico, di modo che in ciascuno dei due recipienti sia esercitata la pressione idrostatica: chiamiamo $\vec{p}_A$ la pressione idrostatica del recipiente $A$ e $\vec{p}_B$ quella del recipiente $B$. Indichiamo inoltre con $h_A$ l’altezza del livello al quale il recipiente $A$ si è riempito e con $h_B$ quella del livello raggiunto nel recipiente $B$.
Per il principio di Pascal, la pressione esercitata sulla superficie di separazione, essendo il fluido in equilibrio, deve essere uguale da entrambi i lati:$$p_A = p_B$$La magnitudine di questa pressione è indicata dalla legge di Stevino: essendo $p_0$ la pressione atmosferica, si arriva all’equazione $$p_0 + \rho g h_A = p_0 + \rho g h_B \quad \Rightarrow \quad h_A = h_B $$
Possiamo applicare lo stesso ragionamento al caso in cui siano coinvolti fluidi di densità differente. A titolo di esempio, si consideri il seguente esercizio.
Esercizio
Si consideri un tubo a forma di “U”, e si versino al suo interno, dalle due bocche, due fluidi differenti: una certa quantità di acqua (di densità $\rho_{\text{H}_2\text{O}} = 1000 \text{ kg} / \text{m}^3$) e mercurio (densità $ \rho_{\text{Hg}} = 13579 \text{ kg} / \text{m}^3$). Se l’altezza della colonna di mercurio è di $30 \text{ cm}$, qual è la differenza $\Delta h$ di altezza tra le superfici raggiunte dai due liquidi?
Si faccia riferimento a questa figura:
Denominiamo con $h_{\text{Hg}}$ l’altezza della colonna di mercurio (nota, di $ 0,3 \text{ m}$) e con $h_{\text{H}_2\text{O}}$ l’altezza raggiunta dalla colonna d’acqua, di modo che la differenza di altezza $\Delta h$ si possa scrivere come $\Delta h = h_{\text{H}_2\text{O}} - h_{\text{Hg}}$. Con riferimento alla figura, scegliamo il livello al quale calcolare la pressione idrostatica dei due fluidi proprio il livello al quale si separano: grazie al principio di Pascal, essendo i fluidi in equilibrio, abbiamo la condizione di uguaglianza delle pressioni idrostatiche $p_{\text{H}_2\text{O}} = p_{\text{Hg}}$. Usando la legge di Stevino, questa equazione si traduce nella seguente catena di uguaglianze:$$ p_{\text{H}_2\text{O}} = p_{\text{Hg}} \ \Rightarrow \ p_0 + g \rho_{\text{H}_2\text{O}} h_{\text{H}_2\text{O}} = p_0 + g \rho_{\text{Hg}} h_{\text{Hg}} \ \Rightarrow \ \rho_{\text{H}_2\text{O}} h_{\text{H}_2\text{O}} = \rho_{\text{Hg}} h_{\text{Hg}} $$In base all’ultima equazione, possiamo calcolare l’altezza raggiunta dalla colonna d’acqua come $ h_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} h_{\text{Hg}}$, da cui la differenza $\Delta h$ diventa $\Delta h = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} h_{\text{Hg}} - h_{\text{Hg}} = \left( \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} - 1\right)h_{\text{Hg}}$. Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo $\Delta h = \left( \frac{13579}{1000} - 1\right)\cdot 0,3 \text{ m} = 3,7737 \text{ m}$, ossia la colonna d’acqua è più alta di quasi quattro metri della colonna di mercurio!
Crediti immagine: Waglione https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/ANIMvasicomunicanti.gif
