Definizione
Dato un numero reale $a$ e un numero naturale $n$, si chiama potenza di $a$ elevato a $n$ la quantità che indichiamo come $a^n$, ottenuta moltiplicando $a$ per sé stesso per $n$ volte: $$a^n = \overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}^{n \text{ volte}}$$Il numero $a$ viene chiamato base della potenza; $n$ viene chiamato esponente. Il numero $a^n$ viene detto brevemente “$a$ alla $n$”.
Calcoliamo alcune potenze in diversi casi per capire meglio questa definizione.
- Per $a=4, n=2$ abbiamo: $$4^2 = 4 \cdot 4 = 16.$$
- Per $a=-2, n=3$ abbiamo: $$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8.$$
- Per $a =\frac{2}{5}, n = 4$ abbiamo: $$\left ( \frac{2}{5} \right )^4 = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{16}{625}.$$
Proprietà delle potenze
Per ogni opportuna scelta dei numeri reali $a, b, c$, valgono le seguenti proprietà:
- $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$;
- $a^b \cdot c^b = (a \cdot c)^b$.
Da queste proprietà si possono dedurre le seguenti:
- $a^b : a^c = \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$;
- $a^b : c^b = (a : c)^b$, o equivalentemente $\frac{a^b}{c^b} = \left ( \frac{a}{c} \right )^b$;
- $\left ( a^b \right )^c = a^{b \cdot c}$ (proprietà della “potenza di una potenza”).
Queste proprietà sono di enorme importanza e vanno memorizzate con cura, dato che vengono applicate in molti ambiti della Matematica.
Come si può vedere, queste proprietà sono state definite per ogni scelta di $a, b, c$ reale; tuttavia, la definizione che abbiamo dato all’inizio della lezione prende in considerazione soltanto esponenti che appartengono a $\mathbb{N}$. In effetti è abbastanza facile dimostrare le proprietà delle potenze in quel contesto, ma affinché esse abbiano senso per $a, b, c \in \mathbb{R}$ dobbiamo introdurre delle nuove definizioni “fatte apposta” per questo scopo.
Definizioni
Consideriamo un numero reale $a>0$.
- Se eleviamo $a$ alla zero, otteniamo $1$, ovvero: $a^0 = 1$.
- Preso un numero intero negativo $m$, definiamo: $$a^m := \frac{1}{a^{-m}} = \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{-m \text{ volte}}}$$Notiamo che questa quantità è ben definita perchè, se $m \in \mathbb{Z}$ ed è negativo, allora $-m \in \mathbb{N}$.
- Preso un numero razionale della forma $\frac{1}{q}, q \in \mathbb{N}$ definiamo $a^{ \frac{1}{q}}$ come quel numero che elevato a $q$ dà come risultato $a$. Molto spesso al posto di $a^{ \frac{1}{q}}$ scriveremo $\sqrt[q]{a}$ e chiameremo questo numero radice $q$-esima di $a$.
Per capire alcune ragioni per cui abbiamo introdotto queste definizioni, facciamo le seguenti osservazioni.
- La definizione $a^0 = 1$ è stata introdotta per mantenere vera la proprietà $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ quando $b=-c$. Infatti $$a^0 = a^{b-b} = a^b \cdot a^{-b} = 1.$$
- La definizione di $a^{\frac{1}{q}}$ data precedentemente è giustificata da questi passaggi algebrici: se $a > 0$, possiamo sempre scrivere$$a = a^1 = a^{\frac{1}{q} \cdot q} = \left ( a^{\frac{1}{q}} \right )^q$$Si vede quindi come $a^{\frac{1}{q}}$ sia effettivamente quel numero che, elevato a $q$, dà come risultato $a$ (basta leggere al contrario la catena di uguaglianze).
Le definizioni appena date, insieme alle proprietà delle potenze, ci permettono di elevare a potenza un numero reale positivo $a$ in molti più casi di quanto potessimo fare facendo esclusivamente riferimento alla definizione data all’inizio della lezione. Per esempio:
- $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$;
- Possiamo elevare anche una frazione a un esponente negativo:$$\left ( \frac{2}{7} \right )^{-3} = \frac{1}{ \left ( \frac{2}{7} \right )^3} = \frac{1}{\frac{8}{343}} = \frac{343}{8};$$
- Per definizione, $8^{\frac{1}{3}}$ è quel numero che, elevato alla $3$, dà come risultato $8$. Il numero che stiamo cercando è quindi $2$, dato che $2^3 = 8$: ovvero $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.
- Adesso siamo in grado di calcolare quanto vale $a^{\frac{p}{q}}$ con $p, q \in \mathbb{Z}$. Infatti $$a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{1}{q} \cdot p} = \left ( a^{\frac{1}{q}} \right )^p$$e, grazie alle definizioni date, sappiamo come svolgere entrambe le operazioni coinvolte nell’ultimo termine.
Rimangono ancora delle situazioni che non sappiamo gestire: per esempio non è chiaro che risultato possono avere le espressioni $3^{\pi}$, oppure $(-1)^{\frac{3}{4}}$. Questi sono casi molto delicati da trattare: è sufficiente sapere che esiste un modo coerente per definire l’elevazione a potenza per ogni scelta di base ed esponente. Per fare un esempio, è importante segnalare che per alcune di queste situazioni è necessario estendere il campo in cui stiamo lavorando ai numeri complessi: l'unità immaginaria $i$ è definita proprio come $(-1)^{\frac{1}{2}}$.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino