Molto spesso, negli esercizi, capita di voler scomporre un polinomio di grado $n$, con $n \geq 2$. Non sempre, però, siamo abbastanza fortunati da avere un polinomio che sia riconducibile a un prodotto notevole, come per esempio accade se abbiamo a che fare con una somma o differenza di cubi, o con lo svolgimento della potenza di un binomio. Come possiamo fare in tutti gli altri casi?
Un metodo che può essere utile sfrutta la regola di Ruffini. Questo è un procedimento che, in certi casi, permette di scomporre un polinomio di grado $n$ nel prodotto di un polinomio di grado $n-1$ e un polinomio di 1º grado.
In questa lezione vedremo direttamente con un esempio svolto come tale regola si può applicare per scomporre un polinomio che sarebbe considerato “inattaccabile” utilizzando solamente le scomposizioni che derivano dai prodotti notevoli.
Bisogna sottolineare che la regola di Ruffini non funziona per tutti i polinomi: a volte, infatti, anche se certi polinomi sono scomponibili non riusciamo ad accorgercene utilizzando questo metodo.
Consideriamo il polinomio di quarto grado: $$P(x) = 2x^4+x^3-8x^2-x+6$$Il nostro obiettivo è quello di scomporre $P(x)$ in due polinomi -uno di 3º grado e uno di 1º grado- utilizzando la regola di Ruffini, che andiamo a esporre direttamente applicata al nostro esempio.
- Il primo passo del procedimento consiste nel cercare un numero tale che, una volta sostituito al posto di $x$, faccia diventare il polinomio uguale a zero; cioè, vogliamo un numero $a \in \mathbb{R}$ tale che $P(a) = 0$.
Nella regola di Ruffini, il “trucco” che si applica per trovare questo numero è: cercare all’interno di tutti numeri della forma $\frac{a}{b}$, con $a$ divisore del termine noto del polinomio preso in considerazione e $b$ divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
Nel nostro esempio il termine noto è $6$ e il coefficiente del termine di grado massimo è $2$. Quindi abbiamo: $$a \in \{\pm 1 , \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}, \quad b \in \{\pm 1, \pm 2 \}$$e dunque, considerando tutte le combinazioni di $a$ e $b$, abbiamo: $$\frac{a}{b} \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \}$$Adesso, si tratta di avere un po’ di “occhio” e un pizzico di fortuna: proviamo a scegliere il numero $-1$ per vedere se $P(-1) = 0$. Si ha: $$P(-1) = 2 \cdot (-1)^4 + (-1)^3 - 8\cdot (-1)^2 -(- 1) + 6 = 2-1-8+1+6 = 0$$e quindi $-1$ è un numero che fa al caso nostro. - Costruiamo uno schema che ci sarà utile per il nostro procedimento. Per prima cosa si tracciano due linee verticali e una orizzontale come nella figura qui sotto:
Nella prima riga dello schema, a partire dalla destra della prima linea verticale, si scrivono i coefficienti del polinomio $P(x)$ in ordine discendente rispetto al grado della variabile $x$; a destra della seconda linea verticale si scrive il termine noto.
Seguendo il nostro esempio, abbiamo:
Per ultima cosa, scriviamo il numero $a$ che annulla $P(x)$ appena sopra la linea orizzontale, a sinistra della prima linea verticale. Nel nostro esempio:
- Eseguiamo il seguente algoritmo, cioè questo procedimento “ripetitivo” costituito da un numero finito di passi. Dopo aver spiegato ogni passo, lo applicheremo direttamente all’esempio proposto.
- Prendiamo il coefficiente del termine di grado più alto del polinomio e riscriviamolo sotto la linea orizzontale:
- Moltiplichiamo questo numero per $a$ (nel nostro esempio $a = -1$), che abbiamo scritto a sinistra della prima linea verticale. Scriviamo il risultato nella colonna immediatamente più a destra, sotto al secondo coefficiente del polinomio:
- Sommiamo i numeri presenti nella colonna dove abbiamo appena scritto il nuovo numero e scriviamo il risultato sotto la linea orizzontale, nella stessa colonna:
- Ripetiamo le operazioni fatte precedentemente a partire dalla seconda colonna, fino a quando non arriviamo a determinare il risultato sotto la linea orizzontale che sia più vicino alla linea verticale di destra:
- A questo punto moltiplichiamo l’ultimo numero ottenuto per $a$ e scriviamo il risultato sotto al termine noto (a destra della seconda linea verticale). Se il procedimento è stato eseguito correttamente, la somma tra questo numero e il termine noto deve essere uguale a zero:
- Prendiamo il coefficiente del termine di grado più alto del polinomio e riscriviamolo sotto la linea orizzontale:
- Prendiamo i numeri scritti sotto la linea orizzontale e li interpretiamo come i coefficienti di un polinomio $Q(x)$. Nel nostro esempio, i numeri ottenuti sono nell’ordine $2, -1, -7, 6$ e quindi abbiamo: $$Q(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$$La regola di Ruffini garantisce che: $$P(x) = Q(x) \cdot (x-a)$$Dato che $a = -1$, abbiamo $(x-a) = (x+1)$ e quindi: $$P(x) = 2x^4+x^3-8x^2-x+6 = (2x^3 - x^2 - 7x + 6)(x+1).$$
Siamo quindi riusciti a scomporre il polinomio di partenza $P(x)$ in due polinomi diversi, uno di 1º grado ($x+1$) e l’altro di 3º grado ($Q(x)$).
ATTENZIONE!
Quando nel polinomio da scomporre $P(x)$ mancano dei termini di grado minore al grado $n$ di $P(x)$, nello schema non si devono saltare le colonne corrispondenti a essi, ma bisogna posizionare degli “0” al loro posto.
Per esempio, prendiamo il polinomio $P(x) = x^4 - 2x+1$. Si verifica facilmente che $P(1) = 0$, e dunque nel costruire lo schema al punto 2 del procedimento possiamo scegliere $a=1$. Lo schema risulta quindi:
dato che in questo polinomio mancano i termini di grado $3$ e di grado $2$.
In altre parole, se il polinomio da scomporre è di grado $n$ allora nello schema della regola di Ruffini ci devono essere sempre $n$ colonne di numeri tra le righe verticali, e le colonne mancanti si generano mettendo uno $0$ dove necessario.
Utilizzo ripetuto della regola di Ruffini per scomporre un polinomio
Ritorniamo al polinomio $P(x) = 2x^4+x^3-8x^2-x+6$. Applicando la regola di Ruffini, siamo riusciti a ottenere la scomposizione $P(x) = Q(x) \cdot (x+1)$, con $Q(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. A questo punto possiamo chiederci: è lecito tentare di scomporre il polinomio $Q(x)$ appena ottenuto utilizzando di nuovo la regola di Ruffini?
Nessuno ci vieta di provare: nel caso in cui la regola di Ruffini sia applicabile, scomporremo $Q(x)$ nel prodotto di un polinomio di 2º grado e di uno di 1º grado. In effetti, anche se non riportiamo qui i calcoli, seguendo lo stesso procedimento di prima risulta: $$Q(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = (2x^2 + x - 6)(x-1)$$ e in particolare: $$P(x) = Q(x)(x+1) = (2x^2 + x - 6)(x-1)(x+1)$$Possiamo ancora andare avanti: il polinomio $Q_1(x) = 2x^2 + x - 6$ è di secondo grado, quindi possiamo provare a scomporlo utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, o provando a vedere se è un trinomio particolare, o addirittura riutilizzando la regola di Ruffini per la terza volta applicandola a $Q_1(x)$. In ogni caso risulta $Q_1(x) = (2x-3)(x+2)$.
Utilizzando ripetutamente la regola di Ruffini siamo arrivati a una completa scomposizione del polinomio di partenza:
##KATEX##\begin{aligned}P(x) & = \overbrace{(2x^3 - x^2 - 7x + 6)}^{Q(x)}(x+1) \\& = \overbrace{(2x^2 + x - 6)}^{Q_1(x)}(x-1)(x+1) \\& = (2x-3)(x+2)(x-1)(x+1)\end{aligned}##KATEX##
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino