cinematica

Ciao Paolo! La risposta più semplice alla tua domanda è questa: la velocità è la derivata rispetto al tempo della posizione, e l'accelerazione è la derivata rispetto al tempo della velocità; quindi derivando $\text{due}$ volte la posizione rispetto al tempo otteniamo l'accelerazione. Se conosci le derivate, applicando le regole di derivazione che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/derivate-di-funzioni-elementari-tabella-e-promemoria-7166.html alle funzioni "posizione" e "velocità" ottieni proprio i risultati di cui hai bisogno. Purtroppo le derivate si insegnano molto più in là nel percorso di studi :( Per questo si ricorre a complicati metodi algebrici e geometrici per spiegare formule che, in realtà, derivano tutte dallo stesso, semplice processo - e uno spiacevole effetto collaterale è che queste formule non si capiscono! Per quanto riguarda il moto uniformemente accelerato, possiamo provare così: in un diagramma cartesiano in cui l'asse orizzontale rappresenti il tempo e l'asse verticale la velocità, tracciamo la curva che rappresenta l'evoluzione della velocità in funzione del tempo; l'area sottostante a questa curva rappresenta lo spazio percorso. Ora, per arrivare alla legge oraria del moto uniformemente accelerato (che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/moto-rettilineo-uniformemente-accelerato-formule-6603.html) occorre considerare che la velocità, in funzione del tempo in un moto rettilineo uniformemente accelerato cambia secondo la formula$$ v = at + v_0 $$Se tracciamo questa curva nel piano, otteniamo una retta, che intercetta l'asse verticale in $v_0$ e ha un'inclinazione pari ad $a$. Se ci fermiamo all'istante $t$, la figura sottesa a questa curva è un trapezio rettangolo, in cui l'altezza è $t$, la base minore $v_0$ e la base maggiore $v_0 + at$: secondo la formula per l'area del trapezio (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/trapezio-formule-area-perimetro-isoscele-scaleno-rettangolo-trapezi-12730.html) otteniamo$$ \text{Area } = x(t) = \frac{\left( (v_0 + a t) +(v_0) \right) \cdot t}{2}$$Facendo i conti viene proprio la legge oraria. Per quanto riguarda il moto armonico, ti consiglio di lavorare prima sul moto circolare uniforme e poi proiettare sull'asse $x$, come facciamo qui https://library.weschool.com/lezione/moto-armonico-formule-6611.html; ti consiglio di ripassarti un po di trigonometria prima di affrontare i conti: https://library.weschool.com/lezione/teoremi-di-trigonometria-su-triangoli-rettangoli-e-triangoli-qualunque-2484.html. Su una circonferenza di raggio $r$ ci muoviamo con velocità angolare costante $\omega$, legata a quella tangenziale $v$ dalla formula $ v = \omega r$. Partendo da un punto $P$ sulla circonferenza, facciamo passare un lasso di tempo abbastanza breve $\Delta t$, dopo il $P$ avrà descritto un angolo $\Delta \theta = \omega \Delta t$ e si troverà in una nuova posizione, $P'$; consideriamo i raggi-vettori che collegano il centro della circonferenza alle due posizioni, i due vettori velocità $\vec{v}$ e $\vec{v}'$ (tangenti alla circonferenza nei due punti) e i due vettori accelerazioni $\vec{a}$ e $\vec{a}'$ (che puntano verso il centro); ora immaginiamo di traslare $\vec{v}'$ e $\vec{a}'$ in $P$, e consideriamo questi tre triangoli: il triangolo $POP'$, il triangolo con vertice in $P$ individuato dai vettori $\vec{v}$ e $\vec{v}'$ (il terzo lato del triangolo lo tracciamo "chiudendo" i vettori $\vec{v}$ e $\vec{v}'$) e il triangolo con vertice in $P$ e lati $\vec{a}$ e $\vec{a}'$. Ora, questi triangoli sono tutti simili tra di loro: l'angolo tra $\vec{v}$ e $\vec{v}'$ e tra $\vec{a}$ e $\vec{a}'$ è sempre $\Delta t$, e vale la proporzione $OP : OP' = v : v' = a : a'$ (guarda qui per i criteri di similitudine tra triangoli https://library.weschool.com/lezione/criteri-similitudine-triangoli-simili-formule-geometria-euclidea-12828.html). Il fattore di omotetia lo scopriamo dalle formule $v = \omega r$ e $a = \omega^2 r = \omega v$: quindi il triangolo formato dalle velocità è $\omega$ volte il triangolo formato dai raggi vettori, e quello delle accelerazioni è $\omega$ volte quello delle velocità. Se osserviamo bene, si ottengono uno dall'altro con una rotazione di $90^\circ$ in senso antiorario, e con un riscalamento di un fattore $\omega$. Ora proiettiamo sull'asse $x$ per ottenere le quantità corrispettive di un moto armonico. La posizione $x$, per definizione del coseno di un angolo, è $x = r \cos (\omega t)$; ora riscaliamo di un fattore $\omega$ e ruotiamo in senso antiorario di $\frac{\pi}{2}$ per ottenere v: $r \cos(\omega t) \ \leadsto \ \omega \cdot \left(r \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) \right)$, che, usando queste formule trigonometriche https://library.weschool.com/lezione/formule-goniometriche-duplicazione-trigonometria-formule-di-prostaferesi-16425.html, diventa $v = - \omega r \sin(\omega t )$; facendo lo stesso procedimento arriviamo a $a = -\omega^2 r \cos(\omega t)$. Spero che adesso sia tutto chiaro! Torno a ripetere: queste motivazioni, seppur valide, sono molto laboriose; tutto si risolve con una derivata! Se hai ancora dubbi, chiedi pure. Per il momento, ciao e buona giornata :3