Codominio delle funzioni

Ciao Lina! In generale lo studio del codominio di una funzione è (molto) più complicato dello studio del suo dominio. Un buon punto di partenza è la conoscenza dei grafici delle funzioni algebriche di base, cioè polinomi (che puoi trovare tra queste https://library.weschool.com/lezione/grafico-di-una-funzione-elementare-analitica-studio-di-funzione-14839.html) e funzioni razionali (che invece spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/risolvere-forme-di-indeterminazione-limiti-infinito-su-infinito-9628.html). Ricordiamo che una funzione matematica ha già, nella sua definizione, il dominio o il codominio, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/funzione-inversa-iniettiva-suriettiva-immagine-di-una-funzione-12804.html; quello che ci viene chiesto, in realtà, è di trovare il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ tale che la funzione sia definita su tutti i suoi punti (per il dominio) o abbia un valore che viene mandato in tutti i suoi punto (per il codominio). In generale potrei dirti di procedere in questo modo: primo, trovare il "dominio" della funzione (come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/funzione-inversa-iniettiva-suriettiva-immagine-di-una-funzione-12804.html); questo può essere fatto da un solo intervallo o da più intervalli. Secondo, calcolare il massimo e il minimo valore assunto dalla funzione su ciascuno degli intervalli che costituiscono il suo dominio. Questi possono essere all'interno dell'intervallo (e allora li puoi trovare come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/usare-weierstrass-per-trovare-massimi-minimi-di-funzione-matematica-10450.html) o agli estremi (e allora bisogna calcolare i limiti agli estremi del dominio, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-agli-estremi-del-dominio-di-una-funzione-definizione-di-asintoto-ori-7530.html). Questo ci fornisce una serie di intervalli ("in verticale", sull'asse delle $y$; il fatto che siano degli intervalli è garantito da un teorema importante, che garantisce alle funzioni continue la proprietà di mandare intervalli in intervalli, cosiddetta "proprietà di Darboux") raggiunti dalla funzione. Terzo, facciamo l'unione di questi intervalli: così troviamo l'insieme più ampio possibile raggiunto dalla funzione. Come vedi il procedimento è un po' complesso; si semplifica di gran lunga se la funzione è un polinomio, nel qual caso il "codominio" si riduce a $\mathbb{R}$ se il polinomio è di grado dispari, o, se di grado pari, a $[A, + \infty)$ oppure $(-\infty, B]$ (dove $A$ è il minimo della funzione e $B$ è il massimo della funzione), a seconda che il coefficiente direttore sia positivo o rispettivamente negativo. Ti rimando anche a questa risposta https://library.weschool.com/domanda/codominio-14464.html, in cui faccio anche degli esempi. Se hai dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona giornata :3