integrali
come si risolve integrale indefinito di 1/sen(x)?
il 29 Febbraio 2016, da Matteo Gonella
Ciao Matteo! Questo è l'unico caso in cui le formule di trigonometria risultano utili al di fuori della trigonometria stessa. Se guardi qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-goniometriche-lineari-formule-parametriche-metodo-dell-angolo-aggiunto-disequazioni-goniometriche-lineari-16429.html o qui https://library.weschool.com/lezione/formulario-trigonometria-formule-duplicazione-angoli-associati-werner-13155.html troverai le spesso dimenticate formule parametriche. Sono fondamentali per risolvere gli integrali del tipo $ \int \frac{P(\sin(x), \cos(x))}{Q(\sin(x), \cos(x))} \ dx$, dove $P$ e $Q$ sono dei polinomi (tecnicamente sono funzioni razionali trigonometriche). Usiamo infatti la sostituzione, suggerita dalle formule parametriche, $t = \tan\left( \frac{x}{2} \right)$, e gli integrali di questo tipo si trasformano, grazie all'integrazione per sostituzione https://library.weschool.com/lezione/integrazione-sostituzione-formule-ed-esempi-di-integrali-risolti-7433.html, da orrori goniometrici in semplici funzioni razionali, che sappiamo risolvere abbastanza semplicemente (se non ti ricordi come, questi contenuti ti possono aiutare: https://library.weschool.com/lezione/integrale-di-funzioni-razionali-fratte-caso-del-denominatore-come-prodotto-7602.html e https://library.weschool.com/lezione/integrazione-di-funzioni-razionali-fratte-caso-generale-7603.html). L'unica cosa un po' fastidiosa è il differenziale:##KATEX##\begin{aligned} t = \tan\left( \frac{x}{2}\right) \leadsto & dt = dx \cdot \left(1 + \tan^2\left( \frac{x}{2}\right) \right) \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow \\ & dx = \frac{2 \ dt}{1 + t^2} \end{aligned}##KATEX##Fai attenzione che $\tan\left( \frac{x}{2}\right)$ Ora usiamo le formule parametriche e questo conto ulteriore per sostituire nel tuo integrale tutto quello che ci interessa! Il risultato, tutto sommato, è abbastanza semplice: a me viene $$ \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \log \left( \tan\left( \frac{x}{2}\right) \right) + \text{cost.}$$Fammi sapere se ti tornano i conti! Ciao e buona giornata :3