MATEMATICA-GEOMETRIA-SISTEMI A 2 INCOGNITE

Ciao Giacomo! Il problema che citi tu si risolve con le formule per i triangoli isosceli, e con un sistema di secondo grado. Le formule sul triangolo isoscele le puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/formule-triangolo-isoscele-inscritto-in-una-circonferenza-perimetro-area-12656.html, mentre i sistemi di secondo grado vengono spiegati qui https://library.weschool.com/lezione/metodo-di-sostituzione-sistemi-equazioni-secondo-grado-risoluzione-13206.html. I nostri dati sono: il lato obliquo $l = 10$, e l'area $A = 48$, mentre ci viene chiesto il perimetro $2p$. Chiamata $b$ la base del triangolo, avremo che $2p = l + l + b$, cioè $2p = 20 + b$. Ora, l'altro dato ci dice che $A = \frac{b \cdot h}{2}$, dove $h$ è l'altezza del triangolo isoscele (riferita alla base $b$). Tracciamo l'altezza e consideriamo uno dei due triangoli rettangoli che vengono a formarsi: siccome, nei triangoli isosceli, l'altezza riferita alla base è anche mediana (della base) e bisettrice (dell'algolo al vertice), questi due triangoli sono congruenti; inoltre sono rettangoli, poiché l'altezza è perpendicolare alla base. Quindi, per Pitagora (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/pitagora-teorema-formule-dimostrazione-geometria-piana-12700.html), abbiamo $h^2 = l^2 - \left( \frac{b}{2}\right)^2$, ossia $h = \sqrt{ l^2 - \frac{b^2}{4}} $. Siccome non ci piacciono le radici quadrate, teniamoci $h^2$: se $A = \frac{bh}{2}$, allora $2 A = b h $ e quindi, elevando al quadrato, $4 A^2 = b^2 h^2 = b^2 \left( l^2 - \frac{b^2}{4} \right)$, ossia, sostituendo i dati, $9216 = b^2 \left( 100 - \frac{b^2}{4} \right)$. Detto questo, impostiamo il sistema:$$ \begin{cases} \displaystyle{20 + b = 2p} \\ \displaystyle{ 9216 = b^2 \left( 100 - \frac{b^2}{4} \right) } \end{cases}$$Useremo il metodo di sostituzione: risolveremo per prima la seconda equazione, trovando $b$, e poi sostituiremo il valore ottenuto nella prima, per ottenere il valore di $2p$ cercato. La seconda equazione è una equazione biquadratica, e, come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-grado-superiore-al-secondo-binomie-trinomie-biquadratiche-disequazioni-12997.html, si risolve abbastanza facilmente. Le soluzioni che ho trovato io sono $b^2 = 256$ e $b^2 = 144$, che, ricordando che $b$ è la misura di un segmento e quindi non può essere negativa, si riducono a $b = 16$ oppure $b =12$. Di conseguenza il perimetro si ottiene dalla prima equazione del sistema. Fammi sapere se ti è tutto chiaro! Ciao e buona giornata.