MATEMATICA-GEOMETRIA-SISTEMI A 2 INCOGNITE

in un triangolo isoscele di area 48 cm2 ciascuno dei lati obliqui è lungo 10cm. Determina il perimetro.


il 25 Gennaio 2016, da Giacomo Marini

Giovanni Barazzetta il 26 Gennaio 2016 ha risposto:

Ciao Giacomo! Il problema che citi tu si risolve con le formule per i triangoli isosceli, e con un sistema di secondo grado. Le formule sul triangolo isoscele le puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/formule-triangolo-isoscele-inscritto-in-una-circonferenza-perimetro-area-12656.html, mentre i sistemi di secondo grado vengono spiegati qui https://library.weschool.com/lezione/metodo-di-sostituzione-sistemi-equazioni-secondo-grado-risoluzione-13206.html. I nostri dati sono: il lato obliquo l=10l = 10, e l'area A=48A = 48, mentre ci viene chiesto il perimetro 2p2p. Chiamata bb la base del triangolo, avremo che 2p=l+l+b2p = l + l + b, cioè 2p=20+b2p = 20 + b. Ora, l'altro dato ci dice che A=bh2A = \frac{b \cdot h}{2}, dove hh è l'altezza del triangolo isoscele (riferita alla base bb). Tracciamo l'altezza e consideriamo uno dei due triangoli rettangoli che vengono a formarsi: siccome, nei triangoli isosceli, l'altezza riferita alla base è anche mediana (della base) e bisettrice (dell'algolo al vertice), questi due triangoli sono congruenti; inoltre sono rettangoli, poiché l'altezza è perpendicolare alla base. Quindi, per Pitagora (che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/pitagora-teorema-formule-dimostrazione-geometria-piana-12700.html), abbiamo h2=l2(b2)2h^2 = l^2 - \left( \frac{b}{2}\right)^2, ossia h=l2b24h = \sqrt{ l^2 - \frac{b^2}{4}} . Siccome non ci piacciono le radici quadrate, teniamoci h2h^2: se A=bh2A = \frac{bh}{2}, allora 2A=bh2 A = b h e quindi, elevando al quadrato, 4A2=b2h2=b2(l2b24)4 A^2 = b^2 h^2 = b^2 \left( l^2 - \frac{b^2}{4} \right), ossia, sostituendo i dati, 9216=b2(100b24)9216 = b^2 \left( 100 - \frac{b^2}{4} \right). Detto questo, impostiamo il sistema:{20+b=2p9216=b2(100b24) \begin{cases} \displaystyle{20 + b = 2p} \\ \displaystyle{ 9216 = b^2 \left( 100 - \frac{b^2}{4} \right) } \end{cases}Useremo il metodo di sostituzione: risolveremo per prima la seconda equazione, trovando bb, e poi sostituiremo il valore ottenuto nella prima, per ottenere il valore di 2p2p cercato. La seconda equazione è una equazione biquadratica, e, come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-grado-superiore-al-secondo-binomie-trinomie-biquadratiche-disequazioni-12997.html, si risolve abbastanza facilmente. Le soluzioni che ho trovato io sono b2=256b^2 = 256 e b2=144b^2 = 144, che, ricordando che bb è la misura di un segmento e quindi non può essere negativa, si riducono a b=16b = 16 oppure b=12b =12. Di conseguenza il perimetro si ottiene dalla prima equazione del sistema. Fammi sapere se ti è tutto chiaro! Ciao e buona giornata.