Non è possibile dare una regola generale valida per risolvere equazioni o disequazioni di qualsiasi grado. È sempre importante, però, osservare bene i polinomi con i quali si deve lavorare: in alcuni casi infatti la risoluzione di equazioni di grado superiore al 2° può essere ricondotta a metodi risolutivi noti, tramite l’utilizzo di qualche “trucco”.
Equazioni binomie
Le più semplici equazioni di grado superiore al 2° sono le equazioni binomie, cioè riconducibili alla forma $$ax^n+b=0$$con $a$ e $b$ reali, $a \neq 0$ e $n$ intero maggiore di 2.
Equazioni di questo tipo possono essere facilmente risolte ricorrendo ai due principi di equivalenza imparati per le equazioni di primo grado e alle radici. Infatti è possibile subito isolare la potenza $n$-esima di $x$: $$x^n=-\frac{b}{a}$$A questo punto bisogna distinguere alcuni casi:
- se $n$ è dispari, l'equazione ha soluzione $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$.
- se $n$ è pari e $-\frac{b}{a}<0$, l'equazione è impossibile (perché nessuna potenza pari di un numero dà un valore negativo).
- se $n$ è pari e $-\frac{b}{a}\geq 0$, l'equazione ha due soluzioni reali: $x_{1,2}=\pm \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$ (nel caso in cui $b=0$ le due soluzioni coincidono e sono uguali a 0).
Vediamo tre esempi:
- $3x^5+3=0$
Isolando la potenza di $x$ otteniamo $x^5=-\frac{3}{3}=-1$. Estraendo la radice quinta abbiamo la (sola ed unica) soluzione $x=\sqrt[5]{-1}=-1$. - $x^6-64=0$
Isolando la potenza di $x$ otteniamo $x^6=64$. Le soluzioni in questo caso sono due distinte: $x_1=\sqrt[6]{64}=2$ e $x_2=-\sqrt[6]{64}=-2$. - $9x^8+90=0$
Isolando la potenza di $x$ otteniamo $x^8=-\frac{90}{9}=-10$. Non esiste alcun numero che, elevato all'ottava, dia un numero negativo (nel nostro caso $-10$), perciò l'equazione è impossibile.
Disequazioni binomie
Analogamente a quanto fatto poco fa, possiamo introdurre le disequazioni binomie, cioè una disequazione che sia riconducibile a una delle seguenti quattro forme: $$ax^n+b<0, \quad ax^n+b \leq 0, \quad ax^n+b>0, \quad ax^n+b \geq 0 $$con $a, b$ reali, $a \neq 0$ e $n$ intero maggiore di 2. Per risolvere una disequazione di questo tipo bisogna per prima cosa portarla in una delle forme $$x^n < -\frac{b}{a},\quad x^n \leq -\frac{b}{a}, \quad x^n > -\frac{b}{a}, \quad x^n \geq -\frac{b}{a}$$e successivamente distinguere i seguenti casi.
- Se $n$ è dispari, la disequazione considerata ha soluzione rispettivamente $$x < \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}, \quad x \leq \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}, \quad x > \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}, \quad x \geq \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$cioè bisogna soltanto mettere sotto radice $n$-esima entrambi i termini lasciando invariato il verso della disequazione.
- Se $n$ è pari, dobbiamo operare una ulteriore distinzione.
- Se $-\frac{b}{a}$ è negativo, allora le disequazioni del tipo $x^n < -\frac{b}{a}, x^n \leq -\frac{b}{a}$ sono sempre false, mentre le disequazioni del tipo $x^n > -\frac{b}{a}, x^n \geq -\frac{b}{a}$ sono vere per ogni $x \in \mathbb{R}$.
- Se $-\frac{b}{a}$ è positivo, allora le disequazioni del tipo $x^n < -\frac{b}{a}$ hanno soluzione $$-\sqrt[n]{-\frac{b}{a}} < x < \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$e analogamente le disequazioni del tipo $x^n \leq -\frac{b}{a}$ hanno soluzione $$-\sqrt[n]{-\frac{b}{a}} \leq x \leq \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}.$$Invece le disequazioni del tipo $x^n > -\frac{b}{a}$ hanno soluzione $$x < -\sqrt[n]{-\frac{b}{a}} \quad \vee \quad x > \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$$e analogamente le disequazioni del tipo $x^n \geq -\frac{b}{a}$ hanno soluzione $$x \leq -\sqrt[n]{-\frac{b}{a}} \quad \vee \quad x \geq \sqrt[n]{-\frac{b}{a}}.$$
Facciamo qualche esempio:
- $2x^5+64 \leq 0$.
Possiamo riformulare questa disequazione come $x^5 < -\frac{64}{2}$, cioè come $x^5 < -32$. Dato che $n$ è dispari, la soluzione è $x \leq \sqrt[5]{-32}$ ovvero $x < -2$. - $-4x^8-2 \leq 0$.
Riscriviamo la disequazione nella forma $x^8 \geq -\frac{-2}{-4}$, cioè $x^8 \geq -\frac{1}{2}$ (notiamo che il verso della disequazione è cambiato visto che abbiamo diviso per $-4$). Dato che $n$ è pari, $-\frac{b}{a}$ è negativo e la disequazione ha verso “$\geq$”, allora la disequazione è vera per ogni $x \in \mathbb{R}$. - $3x^6-3 > 0$.
Questa disequazione può essere riscritta come $x^6 > 1$. Dato che $n$ è pari, $-\frac{b}{a} = 1$ è positivo e la disequazione ha verso “$>$”, allora le soluzioni sono $x < -\sqrt[6]{1} \vee x> \sqrt[6]{1}$ cioè $x < - 1 \vee x >1$.
Equazioni trinomie e biquadratiche
Un'equazione si dice trinomia se può essere scritta nella forma$$ax^{2n}+bx^n+c=0$$con $a$, $b$ e $c$ reali, $a\neq 0$ e $n$ intero positivo.
In questo caso ricorriamo a un "trucco": introduciamo una nuova variabile $t=x^n$ e la sostituiamo nell'equazione di partenza. Otteniamo:$$at^2+bt+c=0$$Questa nuova equazione è di 2° grado nella variabile $t$, quindi sappiamo risolverla. Una volta trovate le eventuali soluzioni $t$, basta sostituirle nella scrittura $t=x^n$ per trovare le corrispondenti soluzioni dell'equazione iniziale nella variabile $x$.
Consideriamo per esempio l'equazione $x^6+3x^3-4=0$. Si tratta di un'equazione trinomia con $n=3$, perché $x^6=x^{2\cdot 3}$. Poniamo quindi $t=x^3$ e otteniamo $t^2+3t-4=0$. Le soluzioni di questa equazione sono $t_1=-4$ e $t_2=1$.
Allora deve essere $x^3=-4$ oppure $x^3=1$. Risolvendo queste due equazioni binomie abbiamo le soluzioni dell'equazione di partenza: $x_1=\sqrt[3]{-4}$ e $x_2=\sqrt[3]{1}=1$.
Nel caso particolare in cui $n=2$, l'equazione trinomia prende il nome di equazione biquadratica e assume la forma:$$ax^4+bx^2+c=0$$In questo caso la sostituzione è sempre $t=x^2$.
Disequazioni trinomie e biquadratiche
In maniera simile a quanto fatto per le disequazioni binomie, possiamo introdurre le disequazioni trinomie, cioè disequazioni che possono essere ricondotte in una delle seguenti forme:
##KATEX##\begin{aligned}ax^{2n}+bx^n+c & <0 \\ax^{2n}+bx^n+c & \leq 0 \\ax^{2n}+bx^n+c & >0 \\ax^{2n}+bx^n+c & \geq 0 \\\end{aligned}##KATEX##
Il metodo di risoluzione di questo tipo di disequazioni si può riassumere così:
- effettuare la sostituzione $t = x^n$, in modo da ricondurre la disequazione considerata a una disequazione di secondo grado in $t$;
- una volta trovate le soluzioni rispetto a $t$, sostituire $x^n$ a $t$ e risolvere le disequazioni binomie così ottenute.
Facciamo chiarezza su questo metodo con qualche esempio.
- $x^6-7x^3-8 <0$.
In questo caso $n=3$, e facendo la sostituzione $x^3 = t$ otteniamo la disequazione di secondo grado $t^2 - 7t - 8 < 0$, che ha soluzione $-1<t<8$.
A questo punto riscriviamo $t$ come $x^3$, e otteniamo $-1 < x^3 < 8$: questo è equivalente ad avere contemporaneamente le disequazioni $x^3 > -1$ e $x^3 < 8$. La prima ha soluzione $x > -1$, mentre la seconda $x < 2$, e siccome valgono contemporaneamente possiamo riscriverle come $-1 < x < 2$. Quindi la nostra disequazione di partenza ha soluzione $-1 < x < 2$. - $x^4-7x^2-18 > 0$.
In questo caso $n=2$, e facendo la sostituzione $x^2 = t$ otteniamo la disequazione di secondo grado $t^2 - 7t-18 >0$, che ha soluzione $t<-2 \vee t >9$.
A questo punto riscriviamo $t$ come $x^2$, e otteniamo $x^2<-2 \vee x^2 >9$. La prima disequazione binomia non ha soluzioni, mentre la seconda ha soluzione $x < -3 \vee x > 3$. Quindi la nostra disequazione di partenza ha soluzione $x < -3 \vee x > 3$.
Altre equazioni risolubili con cambio di variabile
Le equazioni trinomie non sono le uniche che si possono risolvere attraverso un opportuno cambio di variabile. Facciamo degli esempi:
- $(x^2+2)^3-27=0$
Poniamo $t=x^2+2$. Otteniamo l'equazione binomia $t^3-27=0$, la cui soluzione è $t=3$.
Allora le soluzioni in $x$ si ricavano ponendo $x^2+2=3$. Otteniamo quindi $x_{1,2}=\pm 1$.
Questo procedimento può essere utilizzato tutte le volte che si ha un'equazione nella forma$$a(P(x))^n+b=0$$dove $P(x)$ è un polinomio generico. - $(x^2-3x)^2+4(x^2-3x)+4=0$
Poniamo $t=x^2-3x$. Otteniamo l'equazione $t^2+4t+4=0$, che ha come unica soluzione $t=-2$.
Per trovare le soluzioni in $x$ dobbiamo quindi risolvere $x^2-3x=-2$. Le soluzioni di quest'equazione sono $x_1=1$ e $x_2=2$.
Se, invece di procedere con la sostituzione, avessimo svolto i calcoli, avremmo ottenuto un'equazione di 4° grado che non saremmo riusciti a risolvere.
Un procedimento analogo può essere utilizzato tutte le volte che abbiamo un'equazione nella forma$$a(P(x))^2+b(P(x))+c=0$$dove $P(x)$ è un polinomio generico (notiamo che l'equazione trinomia è un caso particolare di questa scrittura con $P(x)=x^n$).
Caso generale
Quando dobbiamo risolvere un'equazione di grado superiore al 2°, molto spesso non si può utilizzare nessuno dei metodi descritti in precedenza.
Consideriamo per esempio l'equazione $x^3+4x^2+8x+5=0$.
Nessuno dei metodi noti è applicabile. Allora proviamo a modificare la forma con cui appare l'equazione; in particolare, cerchiamo di fattorizzare il polinomio $P(x)=x^3+4x^2+8x+5$.
Sostituendo a $x$ il valore 1 ci accorgiamo che $P(1)=0$. Allora possiamo utilizzare la regola di Ruffini, ottenendo $x^3+4x^2+8x+5=(x+1)(x^2+3x+5)$.
Così abbiamo trasformato la nostra equazione in $(x+1)(x^2+3x+5)=0$. Un prodotto è uguale a zero solo se uno dei fattori è uguale a zero, perciò le soluzioni di questa equazione si trovano ponendo $x+1=0$ oppure $x^2+3x+5=0$. La prima equazione ha soluzione $x_1=-1$, mentre la seconda è impossibile.
L'equazione di partenza, quindi, ha come unica soluzione $x_1=-1$.
Questo procedimento è il metodo più generale che possiamo usare per risolvere un'equazione di grado superiore al 2°: data un'equazione nella forma $P(x)=0$ con $P(x)$ generico polinomio, scomponiamo $P(x)$ in fattori e poniamo ciascun fattore uguale a zero.
Un approccio analogo va adottato nel caso in cui si voglia affrontare una generica disequazione di grado superiore al 2º: per prima cosa si procede scomponendo il polinomio ottenuto in fattori di grado minore possibile, e successivamente si procede all’analisi del segno considerando il contributo di ciascun fattore al variare di $x$.