Proprietà delle potenze e radicali

Ciao Beatrice! Mi dispiace, ma il numero $3^{\sqrt{3}}$ non può essere esattamente $6$. Per dimostrarlo, mi occorrono un po' di strumenti: prima di tutto, le proprietà delle potenze (che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/radicali-matematica-definizione-radice-quadrata-cubica-proprieta-segno-15509.html) e quelle dei logaritmi (che invece sono qui https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html e qui https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html). Partiamo dall'ipotesi che $3^{\sqrt{3}} = 6$, e arriviamo a una contraddizione: se abbiamo eseguito con cura tutti i passaggi, l'unica cosa che può essere sbagliata è la nostra ipotesi, e quindi avremo provato che $3^{\sqrt{3}} \neq 6$. Pronti? Cominciamo! Iniziamo con l'assumere che $ 3^{\sqrt{3}} = 6 $. Allora, per definizione di logaritmo, $ \sqrt{3} = \log_{3} (6) $. Per prima cosa, notiamo che $ 6 = 3 \times 2 $, quindi $ \log_{3} (6) = \log_{3} (3 \times 2) = \log_3 (3) + \log_3 (2) = 1 + \log_3 (2) $, da cui ne deriva che$$ \sqrt{3} - 1 = \log_3 (2) $$Da questo segue che $3^{\sqrt{3} - 1 } = 2$, o, passando ai logaritmi in base $2$, $ \log_2 \left( 3^{\sqrt{3} - 1 } \right) = \log_2 (2) $. Con le proprietà dei logaritmi, otteniamo $ (\sqrt{3} - 1) \times \log_2 (3) = 1 $, da cui $ \log_2 (3) = \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$. Razionalizziamo la frazione (spieghiamo come fare qui https://library.weschool.com/lezione/razionalizzazione-radicali-denominatore-razionalizzare-matematica-15773.html e qui https://library.weschool.com/lezione/razionalizzazione-radicali-radicale-doppio-operazioni-esercizi-13321.html), arrivando all'uguaglianza $ \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \log_2(3) $, cioè $ \sqrt{3} +1 = 2\log_2(3)$. Ora usiamo nuovamente la nostra ipotesi, che $\sqrt{3} = \log_3(2) + 1$, e otteniamo che $\log_3(2) + 2 = 2 \log_2 (3)$. Usando la formula del cambiamento di base dei logaritmi, passiamo dalla base $3$ alla base $2$ nel membro di sinistra: otteniamo $\frac{\log_2(2)}{\log_2(3)} +2 = 2 \log_2 (3)$. Con un semplice passaggio algebrico arriviamo alla seguente uguaglianza:$$ \frac{1 + 2\log_2(3)}{\log_2(3)} = 2 \log_2(3) \ \Leftrightarrow \ 2 \left( \log_3 (2) \right)^2 -2 \log_3 (2) -1 = 0 $$ Se nell'ultima uguaglianza chiamiamo $x$ il $\log_2(3)$, questa diventa l'equazione $2x^2 -2x -1 = 0$: possiamo risolverla facilmente (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/risoluzione-equazione-secondo-grado-formula-risolutiva-ridotta-equazioni-algebra-12887.html), ottenendo $ x = 1 \pm \sqrt{3} $. Questo vuol dire che o $ \log_2 (3) = 1 - \sqrt{3} $ o $ \log_2(3) = 1 + \sqrt{3} $. Supponiamo sia $ \log_2 (3) = 1 - \sqrt{3} $: ricordiamo che $\sqrt{3} - 1 = \log_3 (2)$, cioè $ - ( 1 - \sqrt{3} ) = \log_3 (2) $; sostituendo otteniamo $- \left(\log_2 (3)\right) = \log_3 (2)$. In questa ultima uguaglianza abbiamo che un numero negativo ($- \left(\log_2 (3)\right)$) è uguale ad un numero positivo ($\log_3 (2)$), il che è assurdo. Rigettiamo dunque la soluzione $x = 1 - \sqrt{3} $ e indaghiamo l'altra. A questo punto abbiamo:$$ \log_2 (3) = 1 + \sqrt{3} $$Il membro di destra è sicuramente un numero maggiore di $2$: $\sqrt{3}$ è infatti un numero compreso tra $1$ ($= \sqrt{1}$) e $2$ ($=\sqrt{4}$), quindi accresciuto di $1$ non può che essere compreso tra $2$ e $3$. Il membro di sinistra, invece, è un numero sicuramente minore di $2$: questo deriva dal fatto che il logaritmo in base $2$ è una funzione monotona crescente, quindi mantiene l'ordinamento: siccome $ 2 < 3 < 4 $, avremo anche $ \log_2(2) < \log_2(3) < \log_2(4) $, cioè $ 1 < \log_2(3) < 2$. Anche in questo caso siamo giunti all'assurdo: due numeri, l'uno maggiore l'altro minore di $2$, devono avere lo stesso valore. Seguendo i passaggi a ritroso l'unica ipotesi che ci fa arrivare al falso è proprio quella iniziale, cioè che $3^{\sqrt{3}} = 6$: deve essere lei stessa errata. Ne dobbiamo concludere che quei due numeri non sono uguali:$$ 3^{\sqrt{3}} \neq 6 $$Al di là della prova matematica che ho scritto sopra, è molto difficile che un numero naturale ($3$) elevato ad un numero irrazionale ($\sqrt{3}$) dia come risultato un numero a sua volta naturale ($6$): se dovessimo fare un'ipotesi di massima, direi che le probabilità che ciò si verifichi per due numeri presi casualmente sono molto molto basse. Spero sia tutto chiaro: se hai dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona giornata.