Determiniamo la distanza fra due punti nel piano cartesiano. Cominciamo con un esempio semplice e consideriamo il segmento $CD$ di estremi $C \equiv (4;5)$ e $D \equiv (9;5)$ disegnato in figura.
Dal momento che i punti $C$ e $D$ hanno la stessa ordinata, possiamo ottenere la distanza tra i due punti semplicemente contando i quadretti che li separano, in questo caso $5$. Lo stesso risultato lo posso ottenere senza bisogno della figura, ma semplicemente utilizzando le coordinate dei due punti. Essendo $ x_D > x_C$, basta sottrarre all’ascissa di $D$ quella di $C$: $x_D - x_C = 9 - 4 = 5.$
Questo procedimento rimane valido anche quando le coordinate dei punti non sono entrambe positive. Ce ne possiamo convincere osservando cosa succede col segmento $AB$ di estremi $A \equiv (-4;3)$ e $B \equiv (-1;3)$: $x_B-x_A= -1 - (-4)= -1 + 4 = 3$; o col segmento $EF$ con $E\equiv(-2;-2)$ e $F \equiv (4;-2)$: $x_F - x_E = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$. Tutti i segni vanno al posto giusto per far saltare fuori il risultato corretto. Se però prendiamo i punti nell'altro ordine, il risultato della differenza delle ascisse ha un segno negativo (per esempio $x_A - x_B= -4 - (-1) = -3$). Ma una distanza non può mai essere negativa! La questione si risolve ricorrendo al valore assoluto. Per due punti con la stessa ordinata quindi la distanza è definita dal valore assoluto della differenza tra le ascisse e si indica con $d(A,B)=|x_A-x_B|.$
In modo analogo se due punti hanno la stessa ascissa, cioè sono allineati verticalmente, la distanza sarà data dal valore assoluto della differenza tra le ordinate: $d(A,B)=|y_A-y_B|.$
Ma se i punti non sono allineati orizzontalmente o verticalmente? In questo caso dobbiamo ricorrere a un po’ di geometria. Consideriamo per esempio il segmento di estremi $A \equiv (-3;-1)$ e $B \equiv (5;4)$ della prossima figura.
Per prima cosa tracciamo le linee agli assi e condotte $A$ e da $B$ come in figura, ottenendo il triangolo rettangolo $ABC$. Di questo triangolo siamo in grado di calcolare i cateti grazie alle formule viste sopra: $d(A,C)=|x_B-x_A|=|x_B-x_A|=|5-(-3)|=8$, $d(B,C)=|y_B-y_A|=|y_A-y_B|=|-1-4|=5$. Per calcolare la lunghezza del segmento $AB$, che è l’ipotenusa, possiamo allora applicare il teorema di Pitagora ottenendo: $d(A,B)=\sqrt{d(A,C)^2+d(B,C)^2}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_B)^2},$ per arrivare alla formula definitiva: $$d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$$ Nel nostro esempio il risultato è quindi $d(A,B)=\sqrt{89}.$
Nella formula sono spariti i valori assoluti perché non dobbiamo più preoccuparci dei segni: l’elevamento al quadrato rende i numeri positivi.