Consideriamo una funzione $y(x)$ che può essere scritta come quoziente di due funzioni:
$$ y(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$
Se le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono derivabili, possiamo calcolare la derivata di $y(x)$. Naturalmente, essendo $y$ un quoziente, esso risulta definito solo per i valori di $x$ per cui il denominatore $g(x)$ è diverso da zero, e così sarà anche per la sua derivata.
La derivata del quoziente di due funzioni si calcola utilizzando la formula seguente:
$$\boxed{ \displaystyle{y'(x) = \frac{f'(x)g(x) \ – \ g'(x)f(x)}{[g(x)]^2}} }$$
A parole, la derivata di un quoziente è data dalla differenza tra il prodotto della derivata del numeratore per il denominatore non derivato e il prodotto della derivata del denominatore per il numeratore non derivato, il tutto diviso per il quadrato del denominatore (non derivato).
Vediamo perchè.
Supponiamo sempre $g(x) \ne 0$ e scriviamo il rapporto incrementale di y(x) rispetto a un incremento $h$.
$$ \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{ y(x+h) - y(x)}{h} = \frac { \frac{ f(x+h) }{g(x+h)}- \frac{f(x) }{g(x)}}{h} = $$ A questo punto possiamo svolgere la somma a numeratore individuando il comune divisore:
$$ = \frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x) g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}{h}=\frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{f(x+h)g(x)-f(x) g(x+h)}{h}$$
Se sottraiamo e aggiungiamo il prodotto $f(x)g(x)$ al numeratore della seconda frazione otteniamo:
$$\frac{ \Delta y}{\Delta x} =\frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \frac{f(x+h)g(x)- f(x)g(x) +f(x)g(x) - f(x) g(x+h)}{h}=$$ Nella seconda frazione raccogliamo $g(x)$ dai primi due termini e $f(x)$ dagli ultimi due, quindi separiamo in due pezzi ottenendo:
$$= \frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \left( g(x)\frac{f(x+h)- f(x) }{h}- f(x)\frac{g(x+h)- g(x) }{h} \right)$$
$$= \frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \left( g(x)\frac{\Delta f}{\Delta x} - f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x}\right)$$
Nell'ultima espressione abbiamo messo in evidenza i rapporti incrementali di $f(x)$ e $g(x)$.
Passando al limite, e sfruttando le proprietà della somma e del prodotto dei limiti, avremo:
$$ y'(x)=\lim_{h \to 0} \left( \frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \left( g(x)\frac{ \Delta f}{\Delta x} - f(x) \frac{ \Delta g}{\Delta x}\right)\right) =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x)g(x+h)} \cdot \left( \lim_{h \to 0}g(x)\frac{ \Delta f}{\Delta x} - f(x) \lim_{h \to 0} \frac{ \Delta g}{\Delta x}\right) $$
Osserviamo che $\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ e che $g(x)$ e $f(x)$ non dipendono da $h$, quindi possono uscire dal limite (sono costanti rispetto all’incremento $h \to 0$). Quindi:
$$ y'(x) = \frac{1}{[g(x)]^2} \cdot \left( g(x) \lim_{h \to 0}\frac{ \Delta f}{\Delta x} - \lim_{h \to 0}f(x) \frac{ \Delta g}{\Delta x}\right) = \frac{f'(x)g(x) – g'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$$
Come caso particolare possiamo vedere qual è la derivata del reciproco di una funzione. Se infatti consideriamo $f(x)=1$, e dunque $y(x) = \frac{1}{g(x)}$, applicando la formula appena dimostrata abbiamo che nei punti in cui $y(x) = \frac{1}{g(x)}$ è definita ($g(x) \ne 0$) la sua derivata è:
$$\boxed{\displaystyle{ y'(x) = \left(\frac{1}{g(x)}\right)’ = - \frac{g'(x)}{[g(x)]^2} }}$$
Vediamo, infine, come applicare la formula della derivata di un quoziente di funzioni con un esempio.
Prendiamo una funzione razionale fratta:
$$y(x) = \frac{5x^2 + 3x + 8}{x^3} $$
Abbiamo $f(x) = 5x^2 + 3x + 8$, e $g(x)=x^3$. Calcoliamo le loro derivate:
$$f'(x) = 10x + 3, \quad g'(x) = 3x^2$$
Sostituendo nella formula:
$$y'(x) = \frac{f'(x)g(x) – g'(x)f(x)}{[g(x)]^2} = \frac{(10x + 3)(x^3) – (3x^2)(5x^2 + 3x + 8)}{[x^3]^2} =$$
$$ = \frac{10 x^4 + 3 x^3 - 15 x^4 -9 x^3 -24 x^2}{x^6} =\frac{-5x^4 -6x^3-24x^2}{x^6} =\frac{-5x^2 -6x-24}{x^4} $$