Per effettuare il più correttamente possibile una misurazione, è necessario ridurre al minimo l’errore assoluto. L’errore assoluto, tuttavia, essendo la differenza tra il valore medio delle valori ottenuti e il valore teorico della misura desiderata, non può essere assunto a priori, ma deve essere calcolato a fronte delle misurazioni effettuate.
A seconda della misurazione da effettuare, per valutare l’errore assoluto si possono usare metodi differenti. Nella gran parte dei casi si ricorre alla deviazione standard.
Definizione
Effettuiamo una serie di misurazioni $x_1, x_2, \dots, x_N$ e calcoliamone il valor medio $x_m = \frac{x_1 + \dots +x_N}{N}$. Lo scarto, indicato con la lettera $\xi$ (“csi” greca), è la differenza tra il valore medio e il valore di una singola misurazione: $$ \xi_k = x_k - \bar{X} $$
Definizione
Ora definiamo la varianza campionaria come la media aritmetica del quadrato degli scarti: $$ S_N^2 = \frac{(\xi_1)^2 + (\xi_2)^2 + \dots + (\xi_N)^2}{N} = \frac{(x_1 - x_m)^2 + \dots + (x_N - x_m)^2}{N}$$
Definizione
La deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza campionaria: $\sigma = \sqrt{S^2_N} = \sqrt{\frac{(\xi_1)^2 + \dots + (\xi_N)^2}{N}}$. Per motivi di correttezza statistica, al crescere del numero di misurazioni effettuate, si usa una formula leggermente diversa, lo scarto quadratico medio, dividendo per $N-1$ invece che per $N$:
$$ s_x = \sqrt{\frac{(\xi_1)^2 + \dots + (\xi_N)^2}{N -1}} = \sqrt{\frac{(x_1 - x_m)^2 + \dots + (x_N - x_m)^2}{N-1}}$$
La deviazione standard, in presenza di un numero abbastanza alto di misurazioni, rappresenta al meglio l’errore assoluto, ed è quindi di fondamentale importanza per determinare con correttezza l’entità delle fluttuazioni riscontrate in una misura.
