Ogni misurazione di una grandezza fisica prevede errori sistematici ed aleatori.
Gli errori aleatori possono essere ridotti mediante l’impiego di alcuni strumenti statistici.
Supponiamo di voler effettuare la misura di un aspetto di un’esperienza fisica. Per poter ridurre l’influenza degli errori casuali è necessario poter effettuare molte misure della stessa quantità: è quindi necessario che l’esperienza fisica della quale vogliamo misurare un aspetto sia riproducibile a piacimento, sempre nelle medesime condizioni.
Assicuratici di questo, possiamo proseguire, ed effettuiamo un certo numero $N$ di misure. Indichiamo con $x_1$ il risultato (sbagliato) della prima misurazione, con $x_2$ il risultato della seconda, eccetera, sino ad $x_N$.
Definizione
Si chiama media aritmetica o valor medio la quantità $$ X_m = \bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} $$
cioè la somma complessiva delle misure, diviso il numero delle misurazioni effettuate.
Questo valore viene comunemente confuso con il Valore Atteso, il quale però è un risultato teorico (e quindi esatto), mentre la media arimetica è un valore sperimentale ed errato che approssima il valore atteso.
La media aritmetica consiste di individuare una approssimazione del valore “vero” della quantità misurata, la cui precisione aumenta all’aumentare del numero di misurazioni effettuate.
Definizione
Si chiama errore assoluto, e si indica con $E_a$, la differenza in modulo tra il valore teorico della misura effettuata e il valore effettivamente misurato: questo dà un’idea di quanto i dati raccolti si discostino dal valore che si vuole misurare. In questo modo, ogni misurazione può essere indicata con
$$ \text{(quantità da misurare)} = X_m \pm E_a $$
il che indica che ci si trova vicino al valor medio, più o meno distanti, ma al massimo una quantità pari all’errore assoluto. Quindi, tanto è più piccolo l’errore assoluto, tanto più precisa sarà la misurazione.
Il problema sorge quando il valore teoricamente esatto della quantità da misurare non è disponibile, il che accade la maggior parte delle volte. Come procedere in questi casi al computo dell’errore assoluto?
Ci sono diversi modi di calcolare l’errore assoluto: se si hanno a disposizione pochi dati è sufficiente calcolare la semidispersione massima, ma al crescere dei dati si usa la deviazione standard.
Definizione
Si definisce semidispersione massima, indicata con $d$ o $\Delta x$, la semi-differenza massima tra i valori osservati: se $x_{\text{max}}$ è il valore più grande e $x_{\text{min}}$ quello più piccolo, allora la semi-dispersione massima è $$ \Delta x = d = \frac{\left(x_{max} - x_{min}\right)}{2} $$
A volte è necessario di quanto si sbaglia a fronte di una misurazione, soprattutto per accorgersi di quanto il valore dell’errore influisca sulla misurazione effettuata.
Definizione
Si dice errore relativo, indicato da $E_{r}$, il rapporto tra errore assoluto e la media delle misurazioni:
$$ E_r = \frac{E_a}{X_m} $$
Si dice errore percentuale, indicato da $E_{\%}$, l’indicazione percentuale dell’errore relativo:
$$ E_{\%} = E_{r} \cdot 100\ \%$$
Errore relativo e percentuale, essendo rapporti fra grandezze omologhe, non hanno unità di misura: sono semplicemente numeri. L’errore assoluto e il valor medio, invece, posseggono la stessa unità di misura della quantità che si desidera misurare.