Esercizio svolto sulla teoria degli errori

Vogliamo misurare quanto è lungo il nostro tavolo. Effettuiamo varie misurazioni e otteniamo i seguenti risultati:

Calcoliamo ora valor medio, ed errore assoluto, relativo e percentuale.

Per calcolare il valore medio eseguiamo la media matematica $X_m = \frac{1,5 + 1,6 + 1,7 + 1,5 + 1,4}{5} = 1,54 \text{m}$

Per calcolare l’errore assoluto usiamo la semidispersione massima, ossia la metà della massima differenza tra i valori ottenuti: $\Delta x = \frac{x_{\text{max}} - x_{\text{min}}}{2} = \frac{1,7 - 1,4}{2} = 0,15 \text{m}$

La nostra misurazione quindi può essere indicata come $X = \text{lunghezza del tavolo} = 1,54 \text{m } \pm 0,15 \text{m}$

L’errore relativo $E_r$ è invece il rapporto tra l’errore assoluto $E_a$ e il valor medio $X_m$: approssimando l’errore assoluto con la semidispersione massima ottenaimo $E_r = \frac{E_a}{X_m} = \frac{0,15}{1,54} = 0,097$

Notiamo che non c’è un’unità di misura, dato che $E_r$ è il rapporto tra due misure omogenee, metro / metro.

Per calcolare l'errore percentuale moltiplichiamo l'errore relativo $E_r$ per $100$ $E_{\%} = 0,097 \cdot 100 = 9,7\ \%$

Per calcolare la deviazione standard:

Calcoliamo la differenza tra i valori delle misurazioni e il valore medio, ovvero gli scarti: $1,5-1,54= -0,04$; $1,6-1,54 = 0,06$; $1,7-1,54 = 0,16$; $1,5-1,54=-0,04$; $1,4-1,54=-0,14$.

Sommiamo il quadrato di ogni scarto: $(-0,04)^2 + (0,06)^2 + (0,16)^2 + (-0,04)^2 + (-0,14)^2 =$ $0,0016 + 0,0036 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0196 = 0,052$

Dividiamo il risultato per $N = 5$ o per $N-1 = 4$ per ottenere la varianza campionaria: nel primo caso otteniamo un valore meno preciso, quindi preferiamo usare il secondo valore: $\frac{0,052}{N-1} = \frac{0,052}{4} = 0,013$, mentre dividendo per $N$ otterremmo $\frac{0,052}{5} = 0,0104$

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza: $\sigma = \sqrt{0,013} = 0,11$.