2'

Esercizio svolto sulla teoria degli errori

Vogliamo misurare quanto è lungo il nostro tavolo. Effettuiamo varie misurazioni e otteniamo i seguenti risultati:

1,5 m 1,6 m 1,7 m 1,5 m 1,4 m

 

Calcoliamo ora valor medio, ed errore assoluto, relativo e percentuale.

Per calcolare il valore medio eseguiamo la media matematica Xm=1,5+1,6+1,7+1,5+1,45=1,54m X_m = \frac{1,5 + 1,6 + 1,7 + 1,5 + 1,4}{5} = 1,54 \text{m}

Per calcolare l’errore assoluto usiamo la semidispersione massima, ossia la metà della massima differenza tra i valori ottenuti: Δx=xmaxxmin2=1,71,42=0,15m \Delta x = \frac{x_{\text{max}} - x_{\text{min}}}{2} = \frac{1,7 - 1,4}{2} = 0,15 \text{m}

La nostra misurazione quindi può essere indicata come X=lunghezza del tavolo=1,54±0,15m X = \text{lunghezza del tavolo} = 1,54 \text{m } \pm 0,15 \text{m}

L’errore relativo ErE_r è invece il rapporto tra l’errore assoluto EaE_a e il valor medio XmX_m: approssimando l’errore assoluto con la semidispersione massima ottenaimo Er=EaXm=0,151,54=0,097 E_r = \frac{E_a}{X_m} = \frac{0,15}{1,54} = 0,097

Notiamo che non c’è un’unità di misura, dato che ErE_r è il rapporto tra due misure omogenee, metro / metro.

Per calcolare l'errore percentuale moltiplichiamo l'errore relativo ErE_r per 100100 E%=0,097100=9,7 % E_{\%} = 0,097 \cdot 100 = 9,7\ \%

Per calcolare la deviazione standard:

Calcoliamo la differenza tra i valori delle misurazioni e il valore medio, ovvero gli scarti: 1,51,54=0,041,5-1,54= -0,04; 1,61,54=0,061,6-1,54 = 0,06; 1,71,54=0,161,7-1,54 = 0,16; 1,51,54=0,041,5-1,54=-0,04; 1,41,54=0,141,4-1,54=-0,14.

Sommiamo il quadrato di ogni scarto: (0,04)2+(0,06)2+(0,16)2+(0,04)2+(0,14)2=(-0,04)^2 + (0,06)^2 + (0,16)^2 + (-0,04)^2 + (-0,14)^2 = 0,0016+0,0036+0,0256+0,0016+0,0196=0,052 0,0016 + 0,0036 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0196 = 0,052

Dividiamo il risultato per N=5N = 5 o per N1=4N-1 = 4 per ottenere la varianza campionaria: nel primo caso otteniamo un valore meno preciso, quindi preferiamo usare il secondo valore: 0,052N1=0,0524=0,013 \frac{0,052}{N-1} = \frac{0,052}{4} = 0,013 , mentre dividendo per NN otterremmo 0,0525=0,0104\frac{0,052}{5} = 0,0104

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza: σ=0,013=0,11\sigma = \sqrt{0,013} = 0,11.