In questa lezione svolgiamo alcuni esercizi sulle serie numeriche, preoccupandoci di usare tutti gli strumenti visti sino a questo momento: i criteri del rapporto, della radice e del confronto asintotico. Avvertiamo innazitutto che, spesso e volentieri, non è sufficiente applicare un solo criterio, ma se ne devono usare due o più, uno di seguito all’altro: il criterio del confronto asintotico, infatti, permette di “eliminare” alcuni termini dalle espressioni più popolate.
Nello specifico, stabiliamo il carattere delle seguenti serie:$$ \sum_{n = 0 }^{\infty} \frac{n^3 + \cos (n) + 2n}{6n^2 + 1 +4^n} \qquad \sum_{n =1}^{\infty}\left( \frac{1}{n} - \sin\frac{1}{n}\right)$$L’unico difetto di questi criteri è che possono essere applicati solo a serie di termine generale definitivamente non negativo, ossia richiedono tutti che la serie $\sum a_n$ abbia termine generale $a_n \geq 0$, almeno da un certo punto in poi. Come occorre comportarsi se non ricadiamo in questo caso? Per rispondere a questa domanda, è necessario introdurre una nuova tipologia di convergenza, la convergenza assoluta. In un caso molto particolare possiamo anche applicare il criterio di Leibniz.