Le serie numeriche a segno costante hanno numerosi criteri che permettono di determinarne il carattere: il criterio del rapporto, il criterio della radicee il criterio del confronto asintotico. Per le serie a segno non costante, invece, l’unico strumento certo di cui disponiamo è la convergenza assoluta: si tratta però di un’ipotesi molto pesante, e, in generale, serie assolutamente convergenti è difficile trovarne.
Siamo quindi interessati a cercare una situazione intermedia: richiedere un minimo di ipotesi ma avere comunque risultati garantiti. La condizione cui perveniamo è il cosiddetto criterio di Leibniz. Esso riguarda serie a segno alterno: si tratta di serie $\sum b_n$ il cui termine generale $b_n$ cambia segno ad ogni passo, ossia può essere scritto come $b_n = (-1)^n a_n$. Il criterio di Leibniz stabilisce quanto segue: sia data la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$, e supponiamo che la successione $\{a_n\}$ goda delle seguenti proprietà
- Sia definitivamente non negativa, cioè da un certo punto in poi $a_n \geq 0$
- Sia definitivamente monotona non crescente, cioè da un certo punto in poi $a_{n+1} \leq a_n$
- Ammetta limitee questo sia uguale a zero, ossia $\lim a_n =0$
Allora possiamo dire che la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$ converge. In simboli:$$ \begin{cases}a_n \geq 0 \text{ definitivamente} \\ a_{n+1} \leq a_n \text{ definitivamente} \\ \lim a_n =0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n$$