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Insieme C dei numeri complessi: costruzione

Video 9 del percorso: Costruzione di insiemi numerici.

Una volta costruiti i numeri reali, ci si rende conto che esistono ancora delle equazioni polinomiali irrisolubili, ovvero che non hanno radici: ad esempio, le equazioni di secondo grado con il "delta" negativo.
Cosa succede se si aggiunge ai numeri reali l’unità immaginaria, ovvero un nuovo numero "i" tale che "i" al quadrato faccia -1?
In questa lezione mostreremo prima in modo formale, poi in modo più intuitivo, come costruire un campo che estenda i reali e contenga appunto questo nuovo elemento i.

Purtroppo è molto difficile da dimostrare, ma l’insieme C così ottenuto è algebricamente chiuso, ovvero una qualunque equazione polinomiale (a coefficienti in C, e quindi in particolare anche a coefficienti reali) ha delle radici in questo campo dei numeri complessi.

Questo conclude, quindi, la ricerca di insiemi numerici per come l'avevamo motivata all’inizio del percorso.