Consideriamo l'espressione letterale $E=\frac{x-y}{3x}$.
Se a $x$ sositutiamo il numero $1$ e a $y$ il numero $1$, il numeratore della frazione è $0$, mentre il denominatore vale $3$; il valore finale è dunque $\frac{0}{3}=0$.
Se invece $x$ assume il valore $0$ e $y$ il valore $25$ il numeratore della frazione è $-25$ mentre il denominatore vale $0$; il valore finale è dunque $\frac{-25}{0}$, che è un'operazione impossibile, poichè non è possibile dividere per $0$.
Non possiamo allora concludere che per ogni coppia di numeri razionali $(x, y)$ l’espressione $E$ assuma un valore razionale. Per poter calcolare il valore di $E$ dobbiamo scegliere delle coppie di numeri in cui il denominatore, $3x$, sia diverso da zero: scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di $E$ la condizione di esistenza $x \neq 0$.
L’esempio appena illustrato ci fa capire che di fronte ad un’espressione letterale dobbiamo riflettere sullo schema di calcolo che essa rappresenta, per capire quali valori le variabili possono assumere o non assumere. Nella fattispecie, se l’espressione letterale presenta una frazione in cui il denominatore contiene variabili, dobbiamo stabilire le condizioni di esistenza, eliminando quei valori che rendono nullo il denominatore.
Per comprendere la necessità di porre le condizioni d’esistenza ricordiamo la definizione di divisione. Quanto fa $15$ diviso $5$? Perché? In forma matematica: $15:5=3$ perché $3 \cdot 5=15 $, e $3$ è l’unico numero per cui ciò accada. Quindi, sostituendo a $15$, $5$ e $3$ delle lettere qualsiasi, possiamo generalizzare così: $a:b=c$ se $c$ è l’unico numero tale che $c \cdot b=a$.
Vediamo ora cosa succede quando uno dei numeri è $0$. Quanto fa $0:5$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $5$ mi dia $0$: trovo solo $0$; infatti $0 \cdot 5=0$.
Quanto fa $15:0$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $0$ mi dia $15$: non lo trovo; infatti nessun numero moltiplicato per $0$ fa $15$. Quindi, $15:0$ è impossibile perché non esiste $x$ per il quale $x \cdot 0=15$.
Quanto fa $0:0$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $0$ mi dia $0$: non ne trovo solo uno. Infatti, qualunque numero moltiplicato per $0$ fa $0$. Per esempio, $0 : 0 = 33$ infatti $33 \cdot 0=0$, ma anche $0:0=-189,67$ infatti $-189,67 \cdot 0=0$, $0:0=0$ infatti $0 \cdot 0=0$, ancora $0:0= 1120^{99}$ infatti $1120^{99} \cdot 0=0$. Quindi $0:0$ è indeterminato, perché non è possibile determinare un solo numero $x$ tale che $x \cdot 0=0$: per qualunque valore di $x$ si ha $x \cdot 0=0$.
Consideriamo l’espressione letterale $E=\frac{a-b}{a+b}$ dove $a$ e $b$ rappresentano numeri razionali. La descrizione a parole dello schema di calcolo è “la divisione tra la differenza di due numeri e la loro somma”. Tutavia, essendo una divisione, dobbiamo porci la domanda che riguarda il denominatore: “quando, sommando due numeri razionali, otteniamo $0$ al denominatore?” La condizione di esistenza si può esprimere allora come: “$a$ e $b$ non devono essere numeri opposti”, infatti la somma di due numeri opposti è uguale a $0$, e ciò darebbe luogo ad un’espressione impossibile. Dal punto di vista del calcolo letterale la condizione si traduce in $a+b \neq0 $, oppure $a \neq -b$.