Fin da piccoli veniamo a contatto con le frazioni di alcuni oggetti: se dividiamo una torta fra 5 persone in parti uguali diciamo che ognuna ne riceve un quinto, e indichiamo questa cosa attraverso la notazione: $\frac{1}{5}$, o anche 1/5. Entrambe le scritture indicano che un oggetto viene diviso in 5 parti (il numero sotto) e se ne considera 1 a testa (il numero sopra). Le frazioni sono quindi introdotte semplicemente come notazione, ovvero un modo comodo di riportare un concetto.
L’utilizzo di frazioni di un intero si rivela molto utile quando si considerano unità di misura di qualunque tipo: lunghezza, tempo, peso, volume, denaro e così via. Consideriamo un esempio, il sistema monetario romano.
| Denaro | Sesterzio | Dupondio | Asse | Semiasse | Quincux | Triente | Quadrante | Oncia |
| 1 | 1/4 | 1/5 | 1/10 | 1/20 | 1/24 | 1/30 | 1/40 | 1/120 |
Nella tabella si riporta sotto a ogni moneta il suo valore rispetto al Denaro, la più pregiata tra tutte. Poteva così capitare che il prezzo di un bene fosse, ad esempio di:
1 denario, 1 dupondio, 2 quincunx, 3 once
che però vale tanto quanto:
5 sesterzi, 2 semiassi, 1 triente, 1 quadrante
e molti altri modi analoghi. Capiamo bene che potessero sorgere non poche confusioni! Sebbene avere dei sottomultipli dell’unità fondamentale sia utile e comodo, si possono effettuare delle scelte particolarmente felici, in modo da evitare problemi come quelli che traspaiono nella monetazione romana.
Con il passare dei secoli l’umanità ha avuto sempre più bisogno di unità di misura da una parte accurate e universalmente condivise, dall’altra comode da riportare, comprendere e trascrivere. In questo senso si è rivelata determinante la scelta di utilizzare un sistema posizionale. A partire dalle cifre arabe, si compongono i numeri dando un diverso valore a seconda della posizione occupata, come abbiamo imparato a fare fin da piccoli: quando si raggiungono le dieci unità, si passa alla posizione a sinistra, così che il numero 385 è da tutti interpretato come 5 unità, 8 decine (una decina sono dieci unità) e 3 centinaia (un centinaio sono dieci decine). Lo stesso procedimento viene allora adottato nel piccolo, con la convenzione di separare le unità e i suoi multipli dai sottomultipli tramite una virgola. Allora sappiamo che 2,45 vuol dire 2 unità, 4 decimi (un decimo è la decima parte di un’unità) e 5 centesimi (un centesimo è la decima parte di un decimo). In questo contesto si coglie il legame tra frazioni e notazione decimale: le frazioni sono, come abbiamo già detto, suddivisioni di un oggetto, mentre la notazione decimale è un modo comodo per riportare appunto frazioni di un oggetto.
La prima parte di questo corso è dedicata proprio ad approfondire il legame tra frazioni e notazione decimale, cosa voglia dire passare dall'una all’altra e in che modo si faccia. Una domanda che può sorgere, dopo questa introduzione è: perché si è scelto proprio il sistema in base 10? È necessario farlo? A quesiti come questi daremo una risposta. Inoltre tratteremo anche la notazione scientifica, un altro modo di scrivere i numeri che sfrutta le potenze del numero 10. Questa nuova notazione è stata introdotta per rispondere a esigenze derivanti da scienze che hanno a che fare con distanze enormemente grandi, come l’astronomia, o incredibilmente piccole, come la microfisica, rispetto a quelle comunemente usate dall’uomo. Avremo così modo di trattare un altro esempio, dopo il linguaggio delle frazioni e la scrittura decimale, che spiega come molta matematica nasca per rispondere a esigenze concrete.