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Il sistema numerico decimale

Il nostro sistema di numerazione è il sistema decimale: ciò significa che contiamo in base $10$, e ha probabilmente origine dal fatto che abbiamo dieci dita. Naturalmente, uno stesso numero può essere espresso in basi differenti. Forse se fossimo nati ragni avremmo contato fino ad otto ed useremmo un sistema di numerazione ottale. Come conta, invece, un computer? Un computer capisce solo due stati: passa corrente o non passa corrente: è come se avesse due dita. Tutti i sistemi che oggi usiamo nell'informatica sono a due stati, si dicono 'bistabili': i circuiti elettrici possono trovarsi nello stato di acceso o di spento, i dischi magnetici dell'hard disk sono fatti di microscopici magneti che possono essere magnetizzati in un verso o nel verso opposto, i dischi ottici come i CD-ROM e i DVD si comportano come microscopici specchi che riflettono la luce oppure non la riflettono.

Nell'antichità si usava uno strumento chiamato abaco. Gli abachi erano tavolette suddivise in colonne su cui si spalmavano cera o sabbia e si incidevano segni o si mettevano sassolini. Per contare un certo numero di oggetti  e ricordarci quanti sono, facciamo riferimento alla figura che rappresenta un abaco:

 

Cominciamo a contare con le mani: per ogni raggruppamento di $10$ segniamo un'unità di ordine superiore, fino a contare tutti gli elementi del nostro insieme. Le unità che rimangono, poiché non riescono a formare un raggruppamento di $10$, vengono segnate con la cifra che le rappresenta: nel nostro caso $3$. Passiamo all'unità di ordine superiore: le decine. Anche con queste formiamo raggruppamenti di $10$, se ci riusciamo. Ogni raggruppamento forma un'unità di ordine superiore, le centinaia. Se rimangono unità di questo ordine esse rappresentano decine. Se non rimane alcuna unità scriviamo $0$. Nel nostro caso ne rimangono $2$. Il procedimento continua finché non abbiamo finito di contare tutti gli elementi. Nel nostro esempio finiamo dopo aver formato una centinaia. Il nostro numero è dunque $123$.

 

I due numeri $123$ e $312$ sono due numeri diversi anche se sono formati dalle stesse cifre: sono diversi perché la posizione delle cifre è diversa. In generale, il valore di un numero è diverso a seconda della posizione delle cifre che lo compongono. Il sistema di numerazione che usiamo è un sistema posizionale, ed è chiamato decimale o a base dieci perché dieci unità di un determinato ordine formano un'unità di ordine superiore.

 

Riassumendo, abbiamo una serie di dieci simboli: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Il significato dei simboli dipende dalla posizione che assumono nella “parola” che rappresenta un numero: la cifra nella posizione più a destra rappresenta le unità, seguita dalle decine e così via. Ad esempio: $$1846=1 \cdot (1000)+8 \cdot (100)+4 \cdot (10)+6 \cdot (1).$$

In particolare, scritto con le potenze del 10: $$1846=1 \cdot 10^3+8 \cdot 10^2+4 \cdot 10^1+6 \cdot 10^0.$$

Se il numero è indicato come somma delle cifre per le potenze della base, la scrittura si chiama notazione polinomiale.

 

Dieci è la base della rappresentazione che solitamente utilizziamo, ovvero il numero di simboli usati, mentre la potenza del $10$ indica la posizione che i simboli hanno nel numero.