Un'equazione trigonometrica è un'uguaglianza fra due espressioni che coinvolgono funzioni trigonometriche, che sia vericata solo per particolari valori attribuiti agli angoli, ad esempio:
$$13 \sin(x)-10\cos(x)-\frac{7}{9}=0.$$
In questa equazione l'incognita da determinare è l'angolo che verifica l'uguaglianza (se esiste, ovviamente!).
Un'equazione del tipo:
$$a\sin(x)+ b\cos(x) + c = 0,$$
con $a$, $b$ non contemporanemente nulli, si dice lineare. I metodi di soluzione variano a seconda del caso.
- $a=0,\, b\neq 0$. L'equazione diventa: $$ cos(x) = -\frac{c}{b}. $$ Questa equazione è risolubile se e solo se: $$ -1 \le \frac{c}{b} \le 1.$$
Nel caso sia risolvibile, se chiamiamo $\alpha$ una soluzione, anche $-\alpha$ sarà soluzione, e anche tutti gli angoli che si ottengono da $\alpha$ aggiungendo multipli di $2\pi$.
Indicheremo queste infinite soluzioni in questo modo: $$ \alpha+2k\pi $$ dove $ k \in \mathbb{Z} $ è un generico numero intero. Graficamente le soluzioni sono i punti di intersezione della retta $ x = -\frac{c}{b} $ con la circonferenza goniometrica, come si vede nel grafico.
- $ a\neq0, \, b=0 $. L'equazione diventa: $$ \sin(x) = - \frac{c}{a}.$$ Analogamente, l'equazione e risolubile se e sole se: $$ -1 \le -\frac{c}{a} \le 1.$$ In tal caso, se $\alpha$ è una soluzione, anche $ \pi - \alpha $ è una soluzione, così come tutti gli angoli ottenuti dai due aggiungendo multipli di $ 2 \pi $.
Graficamente le soluzioni dell'equazione sono i punti di intersezione della retta $ y = - \frac{c}{a} $ con la circonferenza goniometrica:
- $a \neq 0, \, b \neq 0$ In questa eventualità, per risolvere l'equazione vengono usate le formule parametriche razionali:
$$ \sin(x) = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2\frac{x}{2}}, \quad \cos(x) =\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1 + \tan^2\frac{x}{2}}, $$
valide per ogni $x$ diverso da $\pi+2k\pi$. Per prima cosa si verifica se l'equazione abbia soluzioni della forma $x=\pi+2k\pi$. Fatto questo, per trovare altre eventuali soluzioni, si sostituiscono le formule parametriche razionali nell'equazione di partenza:
$$ a \cdot \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} + b \cdot \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2\frac{x}{2}} + c = 0 $$
che semplificando diventa:
$$ (c-b)\tan^2\frac{x}{2} + 2a\tan\frac{x}{2} + b + c =0. $$
Questa si risolve come un'equazione di secondo grado nell'incognita $y=\tan\frac{x}{2}$, le cui soluzioni, se esistono saranno: $$ \tan\frac{x}{2} = y_1, \, y_2; $$
quindi ci si riconduce ad un'equazione della forma:
$$\tan(z)=m, \, z=\frac{x}{2}. $$
Questa ha sempre soluzione per ogni m reale e le soluzioni sono:
$$ z = \alpha + k\pi $$
con $k\in\mathbb{Z}$, cioè $ x=2(\alpha + k\pi) $.
