Triangolo rettangolo: metodi di risoluzione ed esercizi svolti

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni dei suoi elementi. Risolveremo ora alcuni triangoli rettangoli. Per una visione complessiva delle formule riguardanti la risoluzione di triangoli rettangoli, rimandiamo a questa lezione. Faremo sempre riferimento alla figura seguente:

Esercizi:

• Determinate l'area del triangolo $ABC$ rettangolo in $A$ sapendo che $BC=2 \text{ m}$ e $\beta=20^{\circ}$.
  Sappiamo che l'area $S$ si ottiene con la formula $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC$. Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni $$AB=BC\cdot\cos(\beta)=2\cdot\cos(20^\circ)\simeq2\cdot0,9397\simeq1,8794$$ $$AC=BC\cdot\cos(\gamma)=2\cdot\cos(70^\circ)\simeq2\cdot0,3420\simeq0,6840$$ pertanto $S=0.6428 \text{ m}^2$.
• Un triangolo $ABC$ rettangolo in $A$​ ha il cateto $AB$ di $5 \text{ cm}$ e l’angolo acuto $\hat{BCA}$ di $57^{\circ}$; determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto $AC$ e la misura dell’ipotenusa.
  Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene $\beta=90^\circ-57^\circ=33^\circ$. Per la formula inversa $$CB=\frac{AB}{\cos(\beta)}=\frac{5}{\cos(33^\circ)}\simeq\frac{5}{0,8386}\simeq5,9618 \text{ cm}.$$
  Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:
  
  
  • 1°: applichiamo il Teorema di Pitagora $CA=\sqrt{CB^2-AB^2}\simeq\sqrt{35,5432-25}\simeq\sqrt{10,5432}\simeq3,247 \text{ cm}$
  • 2°: per definizione $CA=CB\cdot\cos(\gamma)\simeq5,9618\cdot\cos(57^\circ)\simeq5,9618\cdot0,5446\simeq3,2468 \text{ cm}.$

• Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che $c=20 \text{ cm}$ e $\sin(\beta)=\frac{3}{5}$.
  Usiamo l'identità fondamentale per determinare $\cos(\beta)$:$$\cos(\beta)=\sqrt{1-\sin^2(\beta)}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{25}\right)}=$$ $$=\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$ $$\cos(\beta)=\frac{c}{a} \quad \Rightarrow \quad a=\frac{c}{\cos(\beta)}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=\frac{20\cdot5}{4}=25 \text{ cm}$$
  Inoltre, per il teorema di Pitagora $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15 \text{ cm}$, mentre $\beta\simeq36^\circ52^\prime12^{\prime\prime}$ (calcolato con la calcolatrice e arrotondato), $\gamma=90^\circ-\beta=53^\circ07^\prime48^{\prime\prime}$.
• Risolvere il triangolo rettangolo $ABC$ retto in $A$ della figura precedente sapendo che $b= 2 \text{ cm}$ e $\sin(\beta) = 0,2$.
  Dalle definizioni si ha $\sin(\beta)=\frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad 0,2=\frac{2}{a}$ da cui possiamo ricavare $a=\frac{2}{0,2}=10 \text{ cm}$. Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l'altro cateto: $$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\simeq9,7980.$$ Infine con la funzione inversa ricaviamo l'angolo $\beta$: $\sin^{-1}(0,2)=11,5369$... e procedendo come spiegato nel punto precedente otteniamo: $\beta=11^\circ 32^\prime 13^{\prime \prime}$ e in seguito $\gamma=90^{\circ}-\beta=78^{\circ} 27^\prime 47^{\prime \prime}$.