Definite le principale funzioni trigonometriche seno e coseno, iniziamo ad introdurre altre funzioni che si riveleranno utili per la risoluzione dei problemi sui triangoli.
La tangente
Molto utilizzata tra le altre funzioni trigonometriche è la tangente.
Definizione: dato un angolo $\alpha$ tra $0$ e $2\pi$, la tangente di $\alpha$ è il rapporto tra seno e coseno dell’angolo:
$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.$$
Notiamo che, siccome $\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{3}{2}\pi)=0$ e non si può dividere per $0$, la tangente non è definita in $\frac{\pi}{2}$ e$\frac{3}{2}\pi$.
Geometricamente, data una circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine del piano cartesiano come quella in figura, detta circonferenza unitaria o goniometrica, la tangente di $\alpha$ rappresenta la lunghezza del segmento $AT$, dove $T$ è l’intersezione tra la retta passante per $P$ e $O$ e la retta $r : x =1$:
$$\tan\left(\frac{7}{3}\pi\right)=\tan\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)}=\frac{-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right).$$
Quindi anche la tangente è una funzione periodica, ma a differenza di seno e coseno, il suo periodo è π: $$\tan(\alpha+\pi)=\frac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)}=\frac{-\sin(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=\tan(\alpha).$$
Vediamo alcuni esempi in cui la funzione tangente risulta utile per risolvere semplici problemi.
Triangolo rettangolo
Data la lunghezza di uno dei due cateti e gli angoli, calcolare la lunghezza dell’altro cateto.
Sappiamo che nei triangoli rettangoli di cateti $c_1$ e $c_2$ e ipotenusa $i, c_2 = \sin (\alpha) \cdot i$ e $c_1 = \cos (\alpha) \cdot i$, quindi una possibile strada per rispondere alla domanda è calcolare l’ipotenusa e usarla per trovare l’altro cateto: $$i=\frac{c_1}{\cos(\alpha)}, \quad c_2=\sin(\alpha)\cdot i.$$
Se sostituiamo la prima formula nella seconda osserviamo però che: $$c_2=\sin(\alpha)\cdot i=\sin(\alpha)\cdot\frac{c_1}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha)\cdot c_1.$$
Analogamente al caso della tangente infatti si ha, grazie alla similitudine tra i triangoli $OPK$ e $OSB$: $$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{PK}{OK}=\frac{SB}{OB}=SB$$
Osserviamo che la cotangente non è altro che il reciproco della tangente: $$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\frac{1}{\tan(\alpha)}.$$
Così come per la cotangente, anche i reciproci di coseno e seno definiscono due nuove funzioni dette rispettivamente:
- secante di $\alpha$, $\sec(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}$
- cosecante di $\alpha$, $\csc(\alpha) =\frac{1}{\sin(\alpha)}$.