Nel riferimento cartesiano sul piano $O x y$ è assegnato il vettore $\vec{u}$ di modulo unitario, $|\vec{u}|=1$, applicato nell’origine $O$ del riferimento e con direzione e verso coincidenti con quelli dell’asse $x$. Il suo estremo è dunque il punto $B \equiv (1;0)$.
Facciamo ruotare $\vec{u}$ intorno all’origine in senso antiorario finché torna a occupare la posizione iniziale, cioè quando ha compiuto una rotazione di $360^\circ$. Muovendosi con continuità, l’estremo $B$ descrive la circonferenza, con centro nell’origine $O$, tratteggiata nella figura; le componenti del vettore cambiano con continuità e dipendono dall’angolo che, in una certa posizione, il vettore stesso forma con semiasse positivo delle $x$.
Ad esempio, quando $\vec{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $90^\circ$, l’estremo $B$ si trova in $B_1 \equiv (0;1)$; quando $\vec{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $180^\circ$, l’estremo $B$ si trova in $B_2 \equiv (-1 ; 0)$; quando $\vec{u}$ ha descritto nella rotazione un angolo di $270^\circ$, l’estremo $B$ si trova in $B_3 \equiv (0;-1)$; e dopo una rotazione completa ($360^\circ$) torna a coincidere con la posizione iniziale $B_4 = B \equiv (1;0)$.
Supponiamo ora che il versore $\vec{u}$ abbia compiuto una rotazione di una angolo $\alpha$, e consideriamo le sue componenti $(u_x;u_y)$.
Definizione
Si definisce coseno dell’angolo $\alpha$ la componente orizzontale $u_x$ del vettore unitario inclinato dell’angolo $\alpha$; si definisce seno dell’angolo $\alpha$ la componente verticale $u_y$:
$$ cos(\alpha) := u_x \ \ \ \ sin(\alpha) := u_y $$
Confrontando questa definizione con quanto descritto sopra possiamo innanzitutto affermare che seno e coseno di un angolo sono numeri reali positivi, negativi o nulli a seconda dell’angolo formato dal vettore $\vec{u}$ e quindi della posizione del punto $B$ sulla circonferenza. Per esempio:
- Se $\alpha = 90^\circ$ allora $B \equiv (0 ; 1)$ quindi $\cos(90^\circ) = 0$, $\sin(90^\circ) = 1$;
- Se $\alpha = 180^\circ$ allora $B \equiv (-1 ; 0)$ quindi $\cos(180^\circ) =-1$ e $\sin(180^\circ) =0$;
- Se $\alpha = 270^\circ$ allora $B \equiv (0 ; -1)$ quindi $\cos(270^\circ) = 0$ e $\sin(270^\circ) =-1$.
Quando il vettore unitario dopo un giro completo ricomincia nuovamente a ruotare in senso antiorario (positivo), descrivendo angoli maggiori di $360 ^ \circ$, i valori di seno e coseno si ripetono identici a quelli del tratto compreso tra $0 ^ \circ$ e $360 ^ \circ$. Per questo motivo si dice le funzioni seno e coseno hanno un andamento periodico.
Per alcuni valori intermedi dell’angolo si possono calcolare seno e coseno dell’angolo usando metodi geometrici; per altri valori si può far uso della calcolatrice scientifica.
Comunque, facendo riferimento alla figura, possiamo in generale affermare che qualunque sia l’angolo si hanno le disuguaglianze: $−1 \leq \sin(\alpha) \leq 1$ e $−1 \leq \cos(\alpha) \leq 1$.