Il Teorema di Lagrange è un teorema che si applica alle funzioni derivabili. Afferma che:
Se $f$ è una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, derivabile nei punti interni $(a,b)$, allora esiste almeno un punto interno in cui la derivata prima è uguale a $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
In simboli: $f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$, $f \text{ continua su } [a,b]$, $f \text{ derivabile su } (a,b)$, $\Longrightarrow \exists x \in (a,b) : f’(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} $.
Da un punto di vista geometrico significa che esiste almeno un punto interno in cui la retta tangente al grafico di $f$ è parallela alla retta secante nei punti di ascissa $a$ e $b$. Al secondo membro si ritrova infatti il coefficiente angolare della retta per due punti: i punti $A \equiv (a; f(a))$ e $B \equiv (b;f(b))$.
Facciamo notare come il Teorema di Lagrange sia una genaralizzazione del Teorema di Rolle. Se infatti aggiungiamo l’ipotesi che $f(a)=f(b)$, ricadendo quindi nelle ipotesi del Teorema di Rolle, il secondo membro nella tesi si annulla.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube Lessthan3Math