L’equazione cartesiana di una retta generica $r$, scritta in forma implicita, è: $$r: \quad ax + by + c = 0 \quad \text{con }\ a, b, c \in \mathbb{R}, \ a \neq 0 \vee b \neq 0$$Supponiamo di sapere le coordinate di due punti $P$ e $Q$ per i quali passa la retta $r$. Come possiamo determinare l’equazione di $r$?
TEOREMA: Prendiamo due punti distinti $P$ e $Q$ con coordinate $(x_P, y_P)$ e $(x_Q, y_Q)$ rispettivamente. L’equazione della retta passante per i due punti $P$ e $Q$ è: $$r: \quad (y_P - y_Q)(x - x_Q) = (x_P - x_Q)(y - y_Q)$$
Dimostrazione. Il fatto che $P$ e $Q$ appartengono alla retta significa che le coordinate di $P$ e le coordinate di $Q$ soddisfano l’equazione della retta. Possiamo costruire quindi un sistema lineare di due equazioni in tre incognite (che sono i coefficienti $a, b, c$):$$\begin{cases} ax_P + by_P + c = 0 \\ ax_Q + by_Q + c = 0 \end{cases}$$Dividiamo l’analisi in due casi.
- $P$ e $Q$ hanno la stessa ascissa.
In questo caso $x_P = x_Q$ e quindi il sistema diventa: $$\begin{cases} a \mathbf{x_Q} + by_P + c = 0 \\ a\mathbf{x_Q} + by_Q + c = 0 \end{cases}$$Possiamo utilizzare il metodo di riduzione per questo sistema lineare, e otteniamo l’equazione risolvente: $$a(x_Q - x_Q) + b(y_P - y_Q) + (c-c) = 0 \quad \Rightarrow \quad b(y_P - y_Q) = 0$$Dato che $P$ e $Q$ sono distinti, non possono avere anche le ordinate uguali: quindi $y_P \neq y_Q$, cioè $y_P - y_Q \neq 0$. Allora deve essere necessariamente $b = 0$, e dunque $a \neq 0$ (altrimenti non stiamo considerando una retta).
A questo punto entrambe le equazioni del sistema diventano uguali a $ax_Q + c = 0$, che vuol dire che $c = -ax_Q$. In conclusione l’equazione della retta (sostituendo i valori ottenuti per $a, b$ e $c$ nell’equazione in forma implicita mostrata all’inizio della lezione) diventa: $$ax - ax_Q = 0 \quad \Rightarrow \quad x-x_Q = 0$$La seconda equazione si ottiene dividendo entrambi i membri per $a$ (possiamo farlo, dato che $a \neq 0$).
Questa equazione è quella che volevamo? Ricordando che $x_P = x_Q$, la formula che vogliamo ottenere diventa: $$(y_P - y_Q)(x - x_Q) = (x_Q - x_Q)(y - y_Q) \ \Rightarrow \ (y_P - y_Q)(x - x_Q) = 0 \ \Rightarrow \ x-x_Q = 0$$dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo diviso per $(y_P - y_Q)$ visto che sappiamo già che $y_P \neq y_Q$.
Abbiamo dimostrato quindi che la formula è corretta quando $P$ e $Q$ hanno la stessa ascissa. - $P$ e $Q$ hanno ascissa differente.
In questo caso $x_P \neq x_Q$, cioè $x_P - x_Q \neq 0$. Sarà importante ricordare questo fatto nei passaggi successivi.
Applichiamo il metodo di riduzione al sistema:$$\begin{cases} ax_P + by_P + c = 0 \\ ax_Q + by_Q + c = 0 \end{cases}$$e otteniamo l’equazione risolvente: $$a(x_P - x_Q) + b(y_P - y_Q) = 0$$che, esplicitando $a$, diventa: $$a = -b \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}$$Sottolineiamo che si può dividere per $x_P - x_Q$ perché $x_P - x_Q \neq 0$.
Sostituiamo il valore ottenuto per $a$ nella seconda equazione del sistema: $$\left ( -b \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} \right ) x_Q + by_Q + c = 0$$Esplicitiamo $c$:$$c = \left ( b \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} \right ) x_Q - by_Q = b \left ( \frac{x_Q(y_P - y_Q)}{x_P - x_Q} - y_Q \right )$$Adesso che abbiamo ottenuto un valore anche $c$, possiamo sostituire i valori di $a$ e $c$ nell’equazione generale di una retta in forma implicita:
##KATEX##\begin{aligned}\left ( -b \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} \right )x + by + b \left ( \frac{x_Q(y_P - y_Q)}{x_P - x_Q} - y_Q \right ) = 0 \\b \left (\left ( -\frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} \right )x + y + \frac{x_Q(y_P - y_Q)}{x_P - x_Q} - y_Q \right ) = 0\end{aligned}##KATEX##
Possiamo supporre che $b \neq 0$. Se per assurdo non fosse così (cioè, se $b=0$) allora l’equazione della retta sarebbe della forma $x = -\frac{c}{a}$ e quindi $P$ e $Q$ avrebbero la stessa ascissa $-\frac{c}{a}$, che è in contraddizione con le nostre premesse.
Dividendo per $b$ l’equazione che abbiamo ottenuto, abbiamo:
##KATEX##\begin{aligned} &\left ( -\frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} \right )x + y + \frac{x_Q(y_P - y_Q)}{x_P - x_Q} - y_Q = 0 \quad \Rightarrow \\\Rightarrow &\quad -(y_P - y_Q)x + (x_P - x_Q)y + (y_P - y_Q)x_Q - (x_P - x_Q)y_Q = 0 \quad \Rightarrow \\\Rightarrow &\quad (x_P - x_Q)(y - y_Q) - (y_P - y_Q)(x - x_Q) = 0\quad \Rightarrow \\\Rightarrow &\quad (x_P - x_Q)(y - y_Q) = (y_P - y_Q)(x - x_Q)\end{aligned}##KATEX##
Questa è proprio l’equazione che volevamo ottenere. La dimostrazione è dunque conclusa.
Per familiarizzare con la formula, consideriamo qualche esempio.
- Dati $P \equiv (1, 2)$ e $Q \equiv (2, 4)$, l’equazione della retta che passa per $P$ e $Q$ è:
##KATEX##\begin{aligned}(y_P - y_Q)(x - x_Q) & = (x_P - x_Q)(y - y_Q) \\(2 - 4)(x - 2) & = (1 - 2)(y - 4) \\-2x+4 & = -y + 4 \\-2x + y & = 0\end{aligned}##KATEX## - Dati $P \equiv (0, -2)$ e $Q \equiv (-3, 2)$, l’equazione della retta che passa per $P$ e $Q$ è:
##KATEX##\begin{aligned}(-2 - 2)(x - (-3)) & = (0 - (-3))(y - 2) \\-4x-12 & = 3y -6 \\4x + 3y - 6 &= 0\end{aligned}##KATEX## - Dati $P \equiv (10, 1)$ e $Q \equiv (10, -6)$, l’equazione della retta che passa per $P$ e $Q$ è:
##KATEX##\begin{aligned}(1 - (-6))(x - 10) & = (10 - 10)(y - (-6)) \\7x-70 & = 0 \\x & = 10\end{aligned}##KATEX##
Facciamo alcune osservazioni riguardo alla formula che stiamo utilizzando.
- Quando $P$ e $Q$ hanno la la stessa ordinata o la stessa ascissa, uno dei due membri dell’equazione diventa uguale a zero, e quindi di fatto “sparisce” la $y$ o la $x$ nell’equazione, rispettivamente. Il terzo esempio che abbiamo fatto rientra in questa situazione.
In particolare, svolgendo i conti, si ha:- se $P$ e $Q$ hanno ascissa $x_0$, allora la retta che passa da $P$ e $Q$ ha equazione $x = x_0$;
- se invece $P$ e $Q$ hanno ordinata $y_0$, allora la retta che passa da $P$ e $Q$ ha equazione $y = y_0$.
- Alcuni testi, quando parlano della formula di una retta passante per due punti $P$ e $Q$, riportano la formula: $$\frac{y - y_Q}{y_P - y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P - x_Q}$$Questa formula è valida solamente quando $P$ e $Q$ non hanno né la stessa ascissa, né la stessa ordinata. Infatti nel primo caso sarebbe $x_P = x_Q$, e nel secondo caso $y_P = y_Q$: in entrambi i casi la formula avrebbe al suo interno una divisione per $0$, che non è definita.
È comunque facile vedere che, quando $x_P \neq x_Q$ e $y_P \neq y_Q$, questa formula è equivalente a quella fornita da noi: basta moltiplicare entrambi i membri per $(x_P - x_Q)$ e $(y_P - y_Q)$. - Se $P$ e $Q$ non hanno la stessa ascissa (cioè, se la retta che passa per $P$ e $Q$ non è verticale) possiamo portare la retta in forma esplicita: dopo alcuni passaggi algebrici, otteniamo: $$y = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}x + \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}x_Q - y_Q$$In altre parole, la retta che passa per $P$ e $Q$ ha coefficiente angolare $m$ e intercetta $q$ date dalle seguenti formule: $$m = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}, \qquad q = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}x_Q - y_Q$$La formula per ottenere $m$ è molto facile da ricordare ed è comoda da utilizzare in molti esercizi (spesso è sufficiente conoscere il coefficiente angolare della retta che passa per $P$ e $Q$, piuttosto che conoscere l’intera equazione che la determina).