Trasformazioni del piano: equazioni

Riassumiamo di seguito le equazioni di alcune trasformazioni del piano frequentemente usate nella risoluzione di esercizi di geometria analitica. Per ognuna vengono date una breve descrizione intuiva della trasformazione e le relazioni tra le vecchie coordinate, indicate con le lettere minuscole $x$ e $y$, e le nuove coordinate, indicate con le lettere maiuscole $X$ e $Y$.

Traslazione

Sposta rigidamente tutti i punti del piano, l’origine degli assi viene si trasforma nel punto $(X_0,Y_0)$ $\begin{cases} x = X-X_0 \\ y = Y-Y_0 \end{cases}$

Simmetria assiale

Riflette l’intero piano come attraverso uno specchio posizionato trasversalmente al piano stesso lungo una retta chiamata asse di simmetria. Nella figura seguente il triangolo $ABC$ viene trasformato in $A'B'C'$ dalla simmetria assiale di asse $L$.

Per scrivere le equazioni prendiamo in considerazione alcuni casi particolari.

Asse di simmetria verticale di equazione $x=X_0$: $\begin{cases} x = 2X_0-X \\y = Y \end{cases}$

Asse di simmetria orizzontale di equazione $y=Y_0$ $\begin{cases} x = X \\y = 2Y_0-Y \end{cases}$

Asse di simmetria coincidente con la bisettrice del I e III quadrante $\begin{cases} x = Y \\ y = X \end{cases}$  

Asse di simmetria coincidente con la bisettrice del II e IV quadrante $\begin{cases} x = -Y \\ y = -X \end{cases}$  

Simmetria rispetto a un polo

Ogni punto del piano viene proiettato attraverso il polo di coordinate $(X_0,Y_0)$ in modo che quest’ultimo sia il punto medio tra il punto trasformato e l’originale. La simmetria rispetto al polo coincide con una rotazione di $180^\circ$ intorno al polo stesso, come si può capire osservando l'immagine seguente in cui il triangolo $ABC$ viene trasformato in $A'B'C'$ da una riflessione rispetto al polo $O$.

Per quel che riguarda le equazioni, se il polo coincide con l’origine abbiamo $\begin{cases} x = -X \\ y = -Y \end{cases}$

Per un generico polo di coordinate $(X_0,Y_0)$ $\begin{cases} x = 2X_0-X \\ y = 2Y_0-Y \end{cases}$

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