Generatori di tensione elettrica ideali e reali.

Ciao Alessandro! Eh, questo sì che è un bel problema, anzi tre. Numererò i problemi che hai esposto 1), 2) e 3), e, in perfetto stile fisico, iniziamo dalla fine rispondendo alla 3) :D $$ $$ 3) Consideriamo la potenza $P_R$ in un generatore reale di resistenza $R$ (con d.d.p. $V$ e resistenza interna $r$) (sarebbe più corretto indicare al posto della d.d.p. la f.e.m. indotta $\mathscr{E}$, ma vabbé), e accettiamo che la sua espressione analitica sia $$ P_R = V^2 \frac{R}{(R+r)^2} $$ tanto poi la dimostriamo :3 Ad ogni modo, questa è una funzione nella variabile $R$; quello che ci chiediamo quindi è: variando $R$, qual è la massima potenza raggiungibile, e per quale valore di $R$ viene erogata? Si tratta di un problema di massimo applicato a una funzione e, come illustrato qui https://library.weschool.com/lezione/punti-estremanti-di-una-funzione-massimo-e-minimo-assoluto-e-relativo-7597.html o qui https://library.weschool.com/lezione/usare-weierstrass-per-trovare-massimi-minimi-di-funzione-matematica-10450.html, è necessario lo studio della derivata prima della funzione $P$ (che è derivabile). Derivando otteniamo $$ \frac{\partial P_R}{\partial R} = \frac{\partial}{\partial R} \left( V^2 \frac{R}{(R+r)^2} \right) = [\dots] = V^2 \frac{r - R}{(R + r)^3} $$ (ho usato la regola di derivazione delle funzioni fratte, che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/derivata-del-quoziente-di-due-funzioni-spiegazione-ed-esempio-6964.html) e come puoi vedere questa derivata si annulla quando $R = r$; con altre semplici considerazioni (ad esempio la derivata seconda...) scopriamo che è effettivamente un massimo. Sostituendo questo valore $r$ nell'espressione di $P_R$ otteniamo $P_{\text{max}} = \frac{V^2}{4 r}$. $$ $$ 2) L'espressione si trova facendo delle considerazioni sulla disposizione delle resistenze e alle leggi che legano potenza, resistenza e intensità di corrente. Innanzitutto usiamo la legge di Ohm (per i conduttori), che asserisce che, in presenza di una d.d.p. $V$ si genera una corrente $i$ legata alla resistenza del circuito $R$ mediante la formula $V = R i$. Però abbiamo due resistenze! Le resistenze sono messe in serie (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/collegamento-serie-di-resistenze-elettriche-dimostrazione-pratica-6148.html) e quindi esse sono equivalenti ad un'unica resistenza di valore pari alla somma delle due: $R + r$. Da questo ricaviamo che la corrente $i$ presente nel circuito è pari a $i = \frac{V}{R +r}$. Mettiamo da parte questo risultato e occupiamoci della potenza. La potenza, sempre per la legge di Ohm, vale $ P = R i^2 $ dove (attenzione: questo passaggio è cruciale!) ora la resistenza è solo $R$, perché adesso sono fuori dal generatore. Sostituendo l'espressione trovata per $i$, otteniamo proprio $$ P = P_R = R \ i^2 = R \left(\frac{V}{R + r}\right)^2 = V^2 \frac{R}{(R + r)^2} $$ $$ $$ 1) La risposta è contenuta nella precedente: bisogna fare molta (molta) attenzione alle resistenze in gioco. Come ho scritto prima, la corrente dipende non solo dalla resistenza interna $r$, ma anche da quella del circuito $R$: non si può pretendere di cambiare le carte in tavola (cortocircuitare il generatore, e poi attaccargli un circuito) e pretendere che il risultato non cambi! Spero di essere stato chiaro :3 Se hai altri dubbi, chiedi pure!

Innanzitutto grazie Giovanni per la risposta,ma avrei ancora un dubbio inerente alla prima domanda.La frase che non mi è per niente chiara è questa: "In realtà un’altro “effetto collaterale” della resistenza interna è quello di dissipare parte dell’energia sviluppata, cosicchè la potenza che effettivamente viene trasmessa all’utilizzatore PR è significativamente minore di V2/r". il "significativamente minore di V2/r" io non l ho inteso come una semplice aggiunta della resistenza del circuito alla resistenza interna perché sembra che sia riferito unicamente alla resistenza interna, che quindi diminuisce la corrente una prima volta (I = V : r) e anche una seconda perché nel testo dice che: " i più frettolosi potrebbero concludere che la massima potenza erogabile sia data da Pmax=V·V/r=V^2/r". Questo è ciò che non capisco dato che rientro nella "categoria dei più frettolosi" :). Ciao - Alessandro Cavalli 13 Giugno 2015

Come detto nell'articolo, se avessimo un generatore erogante una potenza di $\frac{V^2}{r}$, anche con d.d.p. basse, diminuendo la resistenza interna $r$ potremmo generare correnti di intensità grande a piacere. L'autore voleva mettere l'accento su questo fatto: che applicare a manetta le formule porta spesso a risultati sbagliati. Nel momento in cui la teoria prevede effetti che non si verificano (potenza infinita!), allora c'è qualcosa di incorretto nel nostro ragionamento :3 Tutto sta nel capire a quale circuito applicare Ohm, una prima volta con le resistenze in serie, $r + R$, una seconda volta solo con la resistenza nominale del circuito $R$. Spero che sia tutto chiaro! - Giovanni Barazzetta 16 Giugno 2015