Nel diagramma di un circuito elettrico, accanto al ben noto simbolo che rappresenta un generatore di differenza di potenziale (d.d.p.), normalmente se ne indica semplicemente il voltaggio $\text{V}$. Questo perché si assume che il generatore sia ideale, capace cioè di erogare una tensione perfettamente uguale a quella nominale, dichiarata dal costruttore, indipendentemente dal circuito cui è collegato, ovvero quale che sia la corrente $I$ che circola in esso.
In realtà ciò non è affatto possibile semplicemente per considerazioni energetiche. La potenza erogata $P$, ossia l’energia elettrica erogata dal generatore per unità di tempo, si ottiene dalla seguente formula$$P=V\ I$$Si può arrivare a questa formula seguendo il seguente ragionamento: dalla definizione di potenza, sappiamo che essa ha le dimensioni di un lavoro diviso un tempo. Il lavoro $\mathcal{L}$ svolto da un campo elettrico è pari alla differenza di potenziale per la quantità di carica spostata, $\mathcal{L} = \Delta V q$; ma la corrente elettrica $I$ non è altro che la quantità di carica elettrica $\Delta q$ spostata per unità di tempo: $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$. Abbiamo dunque la seguente catena di uguaglianze:$$ V\ I = V \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\Delta V q}{\Delta t} = \frac{\mathcal{L}}{\Delta t} = P$$Se supponiamo che il circuito abbia una resistenza complessiva $R$, la situazione può essere descritta dalla figura seguente:
La corrente $I$ che circola in un simile circuito è data dalla prima legge di Ohm: da $V = R \ I $, si ricava facilmente $I = \frac{V}{R}$. È facile rendersi conto che collegando resistenze molto piccole, la corrente $I$ può assumere valori arbitrariamente grandi. Sembrerebbe quindi che un generatore di tensione sia in grado di erogare una potenza grande a piacere: anzi più piccola è la resistenza collegata e maggiore parrebbe essere la potenza che è possibile estrarre. Se davvero fosse questa la situazione, la questione energetica nemmeno si porrebbe: le comuni pile alcaline sarebbero una specie di pozzo di San Patrizio da cui estrarre energia senza limiti!
In realtà il modo più corretto di rappresentare un generatore di d.d.p. reale è quello della figura sottostante:
Ogni generatore è infatti caratterizzato, oltre che dal voltaggio $V$, anche da una resistenza interna $r$, sempre presente, data dal fatto che il generatore stesso è composto, nelle parti ove deve circolare corrente, da materiale conduttore. La resistenza interna $r$ limita il valore massimo di corrente erogabile: se anche cortocircuitassimo i poli del generatore (imponendo cioè che il circuito esterno abbia resistenza nulla, $R=0$) avremmo come massimo valore della corrente $I_{\text{max}} = \frac{V}{r}$.
Da questo risultato per la corrente massima, i più frettolosi potrebbero concludere che la massima potenza erogabile sia data da $P_{\text{max}} = V \ I_{\text{max}} = \frac{V^2}{r}$. In realtà un altro “effetto collaterale” della resistenza interna è quello di dissipare parte dell’energia sviluppata, cosicchè la potenza che effettivamente viene trasmessa all’utilizzatore $P_R$ è significativamente minore di $\frac{V^2}{r}$ e cambia a seconda dei valori di resistenza esterna $R$ applicata: infatti, la potenza trasmessa al circuito di resistenza $R$ è descritta dalla seguente formula:$$P_R=V^2\frac{R}{(R+r)^2}$$Ci accingiamo ora a dimostrare tale formula. Come si vede dal diagramma precedente, le resistenze $r$ ed $R$ sono collegate in serie: sono dunque equivalenti ad un’unica resistenza equivalente pari a $R + r$. La corrente $I$ circolante nel circuito sarà allora data sempre dalla prima legge di Ohm: $I = \frac{V}{R+r}$. Ora indaghiamo la potenza $P_R$ che viene passata al circuito: ma attenzione, ora la resistenza è solo $R$, poichè siamo all’esterno del generatore. Sempre per la prima legge di Ohm, la potenza è data dalla formula $P = R \ I^2$. Sostituendo in quest’ultima uguaglianza l’espressione per l’intesità di corrente $I$ trovata in precedenza, giungiamo alla formula che volevamo dimostrare.
L’espressione $P_R = V^2\frac{R}{(R+r)^2}$ rappresenta la potenza $P_R$ come funzione matematica della resistenza $R$ del circuito che utilizza il generatore reale. Il grafico di tale funzione è riprodotto in figura:
Come è possibile notare dal profilo del grafico, la potenza erogata $P_R$ presenta un punto più alto di tutti gli altri, quello che in matematica si chiama un punto di massimo. Eseguendo lo studio di tale funzione, scopriamo che la potenza erogata è massima quando la resistenza applicata ai capi del generatore è uguale alla resistenza interna, ovvero per $R=r$, e il valore massimo di tale potenza è pari a $P_{\text{max}} = \frac{V^2}{4r}$, appena il 25% di quanto avevamo presunto!