Una funzione è convessa in un intervallo, cioè volge la concavità verso l’alto, se comunque scelti due punti del grafico all’interno di questo intervallo il segmento che li congiunge sta sopra il grafico della funzione. Si può notare che il coefficiente angolare di una retta tangente al grafico di una funzione convessa è crescente al crescere della $x$; dato che tale coefficiente è calcolabile con la derivata prima, questo significa che la “derivata della derivata” deve essere positiva (a patto che esista sempre). In poche parole, se una funzione è derivabile due volte, allora $$\text{convessità} \quad \Leftrightarrow \quad f’’(x) \geq 0$$Viceversa, una funzione è concava in un intervallo (volge la concavità verso il basso) se il segmento che congiunge due punti del grafico si trova sotto al grafico stesso, o anche se il coefficiente angolare delle rette tangenti decresce al variare di $x$: $$\text{concavità} \quad \Leftrightarrow \quad f’’(x) \leq 0$$Si chiamano punti di flesso di una funzione i punti in cui la concavità cambia; in corrispondenza di questi punti la retta tangente ”passa attraverso” il grafico della funzione. Se in questi punti esiste la derivata seconda, allora deve essere necessariamente $f’’(x)=0$; tuttavia, questa condizione non è né necessaria né sufficiente a determinare i punti di flesso. Infatti:
- la funzione $y = \sqrt[3]{x}$ ha un flesso in zero, ma sia la derivata prima che la derivata seconda non sono definite (cioè, $f’’(x)=0$ non è condizione necessaria);
- la funzione $y = x^4$ ha derivata seconda nulla in $x=0$, ma non presenta un flesso (cioè, $f’’(x)=0$ non è condizione sufficiente).
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3math