Come deve essere fatta un’equazione quadratica in $x$ e $y$ per rappresentare una circonferenza? E una volta riconosciuta come tale come si fa a ricavarne le coordinate del centro e la misura del raggio?
Prima di tutto il termine misto $xy$ deve essere assente mentre devono essere presenti tutti e due i termini quadratici in $x$ e $y$, ovvero ci devono essere sia la $x^2$ che la $y^2$. Tuttavia soddisfare queste condizioni non è sufficiente. Tanto per iniziare, affinché si tratti di una circonferenza questi ultimi due termini, una volta portati dalla stessa parte dell’uguale, devono essere preceduti da coefficienti che siano numericamente uguali e che abbiano lo stesso segno.
Nella tabella seguente sono indicati alcuni esempi
| equazione | non si tratta dell'equazione di una circonferenza perché |
|
$4x^2-8x+4y+1=0$ |
manca il termine di secondo grado in $y$ |
| $4x^2-4y^2-8x+4y+1=0$ | i coefficienti dei termini di secondo grado sono opposti |
| $4x^2+2y^2-8x+4y+1=0$ | i coefficienti dei termini di secondo grado sono diversi |
Al contrario sia $ 4x^2 + 4y^2 - 8x + 4y + 1 = 0 $ che $-y^2 = x^2 - 2x$ potrebbero rappresentare circonferenze. Nella prima $x^2$ e $y^2$ hanno entrambi $+4$ come coefficiente moltiplicativo mentre nella seconda spostando tutti i termini a sinistra dell’uguale otteniamo $-x^2-y^2+2x = 0$ che è in regola con le indicazioni date fino a questo punto.
OOsserviamo ora che qualunque equazione che soddisfi le richieste fin qui avanzate può essere ridotta all’equazione detta in forma esplicita $$ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 $$ Per farlo è sufficiente spostare tutti i termini dalla stessa parte dell’uguale e dividere ambo i membri per il coefficiente dei termini quadratici.
Per riprendere l’esempio fatto precedentemente, partendo da $4x^2 + 4y^2 - 8x + 4y + 1 = 0$ dividiamo per $4$ a destra e a sinistra dell’uguale ottenendo $x^2 + y^2 - 2 x + y + \frac{1}{4}=0$.
Le condizioni che vanno controllate per verificare che l’equazione rappresenti una circonferenza però non sono ancora finite. Per capire il significato dell’ultima ricaviamo, con il completamento dei quadrati, la posizione del centro della circonferenza in modo da trasformare la forma generica in una circonferenza traslata, di centro $C \equiv (x_C;y_C)$ e raggio $r$: $$(x-x_C)^2+(y-y_C)^2 = r^2$$
Per prima cosa mettiamo in ordine i termini: $$ x^2 + ax + y^2 + by = -c $$ Ora interpretiamo $ax$ come doppio prodotto tra $x$ e una quantità da determinare che indichiamo con $x_C$: $$ax=2x\cdot x_C \Rightarrow x_C=\frac{a}{2}$$ Aggiungendo ora da entrambi i lati dell’uguale la quantità $x_C^2$ siamo in grado di completare un quadrato di binomio: $$x^2+ax+x_C^2+y^2+by= - c + x_C^2 \Rightarrow x^2+ax+\left( \frac{a}{2} \right)^2+y^2+by= -c + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \Rightarrow$$
$$ \left(x^2 + \frac{a}{2} \right)^2 + y^2 + by = -c + \frac{a^2}{4} $$
Possiamo ripetere la procedura per le ordinate ottenendo infine $$ \left( x^2 + \frac{a}{2} \right)^2 + \left( y^2 + \frac{b}{2} \right)^2 = -c + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} $$ da cui segue per confronto l’identificazione delle coordinate del centro e del raggio raggio al quadrato $$ \begin{align} & \begin{cases} x_C= -\frac{a}{2} \\ y_C=-\frac{b}{2}\end{cases} \\ & r^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c \end{align}$$ Ricaviamo in questo modo l’ultima condizione da soddisfare $a^2 + b^2 - 4c>0$: il raggio al quadrato deve essere un numero positivo!
Per esempio $x^2 + y^2 - 2x + y + \frac{1}{4} = 0$ ha come centro il punto di coordinate $x_C = 1$ e $y_C = 0$ e il raggio si ricava da $r^2=\frac{2^2}{4}+\frac{1^2}{4} - \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow r = 1$. Al contrario $x^2 + y^2 - 2 x + y + 2 = 0$ non rappresenta una circonferenza perché $a^2 + b^ 2 -4c = -3$.