Il più comune e probabilmente il più famoso dei solidi platonici è il cubo. Possiamo definire questo solido come un prisma retto con base quadrata e altezza pari allo spigolo della base. Stiamo quindi considerando un caso particolare di prisma regolare: per questo motivo questo solido si può anche chiamare esaedro regolare. Il prefisso “esa-” deriva dal greco, e sta a significare che questo solido presenta $6$ facce.
Come possiamo vedere in figura, un cubo è costituito da:
- $8$ vertici;
- $12$ spigoli, tutti congruenti fra loro (spesso infatti ci si riferisce a “lo spigolo” del cubo, considerandone uno qualsiasi);
- $6$ facce, che sono tutti quadrati con lo stesso lato (e quindi congruenti).
Possiamo individuare all’interno del cubo $4$ diagonali, anch’esse congruenti fra loro.
Formule per il cubo
Esistono molte formule utili per il cubo, grazie alle quali possiamo ricavare il valore delle grandezze a esso relative.
La maggior parte di queste formule contiene al suo interno la misura $L$ dello spigolo del cubo, ma vedremo che è possibile ricavare anche altre formule a partire dalla misura di una diagonale $d$.
Relazioni tra diagonale e lato: $$d = \sqrt{3}L \qquad \text{oppure} \qquad L = \frac{d}{\sqrt{3}} $$
Volume: $$V = L^3 \qquad \text{oppure} \qquad V = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}$$Dall’ultima formula si deduce che un cubo ha lo stesso volume di una piramide regolare a base quadrata, con lato del quadrato congruenti alla diagonale $d$ del cubo e altezza pari al lato $L = \frac{d}{\sqrt{3}}$ del cubo.
Superficie di base: La base di un cubo è sempre un quadrato di lato $L$, in qualunque modo si scelga di orientare il solido; quindi: $$A_{base} = L^2 \qquad \text{oppure} \qquad A_{base} = \frac{d^2}{3}$$
Superficie laterale: La superficie laterale di un cubo è sempre costituita da quattro quadrati di ugual lato $L$: quindi $$S_{lat} = 4 L^2 \qquad \text{oppure} \qquad S_{lat} = \frac{4}{3}d^2$$
Superficie totale: Ciascuna delle sei facce di un cubo è un quadrato di lato $L$, e quindi: $$S_{tot} = 6L^2 \qquad \text{oppure} \qquad S_{tot} = 2d^2 $$
Sottolineiamo che altre formule possono essere ricavate invertendo le formule che abbiamo appena visto. Per esempio, se conosciamo il valore della superficie totale del cubo, possiamo ricavare lato e diagonale in questo modo: $$L = \sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}, \qquad d = \sqrt{\frac{S_{tot}}{2}}.$$
Proprietà del cubo
L’esaedro regolare possiede le seguenti proprietà geometriche.
- Possiamo definire il cubo come un parallelepipedo rettangolo che abbia come facce quadrati con lo stesso lato. Pertanto, in corrispondenza di ciascun vertice del cubo si incontrano tre facce tra loro perpendicolari.
- Il cubo è l’unico solido regolare con cui si può riempire lo spazio tridimensionale senza lasciare “buchi” tra un solido e l’altro.
- È l’unico solido platonico ad avere facce con un numero pari di lati (essendo le sue facce tutti quadrati, ciascuna faccia ha $4$ lati).